[Soru]: Aşağıdaki denklemde
[
x \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{x}}{x + 4x^2}} ;=; 2
]
olduğuna göre, seçeneklerde (A) 21, (B) 20, (C) 18, (D) 16, (E) 8 arasından (x) kaçtır?
Cevap:
Bu denklemi çözdüğümüzde gerçekte (\displaystyle x=-\tfrac15) sonucu elde edilir. Ancak (-\tfrac15) verilen şıkların hiçbiriyle uyuşmadığından, pozitif bir tam sayı çözümü yoktur. Bu nedenle seçenekler arasında denklemi sağlayan bir değer bulunmamaktadır.
Aşağıda çözüm adımları özetlenmiştir:
| Adım | İşlem/Açıklama |
|---|---|
| 1. Denklemi yazma | (\displaystyle x \sqrt{\frac{1 + \tfrac{1}{x}}{,x + 4x^2,}} = 2) |
| 2. Pay/Payda düzeni | (\displaystyle 1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x},\quad x+4x^2=x(1+4x)). |
| 3. İçini sadeleştirme | (\displaystyle \frac{\frac{x+1}{x}}{x(1+4x)} = \frac{x+1}{x^2(1+4x)}). |
| 4. Kareköklü ifade | (\displaystyle \sqrt{\frac{x+1}{x^2(1+4x)}} = \frac{\sqrt{x+1}}{,x\sqrt{1+4x},}.) |
| 5. Çarpma işlemi | (\displaystyle x \times \frac{\sqrt{x+1}}{,x\sqrt{1+4x},} = \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1+4x}}.) |
| 6. Eşitlik kurma | (\displaystyle \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1+4x}} = 2.) |
| 7. Kare alma | (\displaystyle x+1 = 4,(1+4x).) |
| 8. Çözüm | (\displaystyle x +1 =4 +16x\implies -15x=3\implies x=-\tfrac15.) |
| 9. Sonuç | (-\tfrac15) sıfırdan küçük olduğu için verilen seçeneklerle uyuşmaz ve denklem için herhangi bir pozitif tam sayı kökü yoktur. |
Sonuç olarak, denklemi sağlayan herhangi bir pozitif tam sayı çözümü bulunmadığı için verilen şıklardan hiçbiri doğru değildir.