A(2,8) noktasından geçen ( y = ax^2 + bx + c ) eğrisinin orijindeki teğetinin denklemi ( y = 2x ) ise ( a, b ) ve ( c ) değerleri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Öncelikle, eğrinin orijindeki teğetinin ( y = 2x ) denklemi olduğunu biliyoruz. Bu durumda, türevini alarak ( f’(0) = 2 ) verilmiş olur.
Eğrinin denklemi: ( y = ax^2 + bx + c )
Bu eğrinin türevini alalım:
y' = 2ax + b
Orijin noktasında türev ( y’ = 2 ) olacağına göre:
2a \cdot 0 + b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 2
Şimdi eğri ( A(2, 8) ) noktasından geçtiğine göre, ( y = ax^2 + bx + c ) denkleminde ( x = 2 ) ve ( y = 8 ) değerlerini yerine koyarız:
8 = 4a + 2b + c
( b = 2 ) değerini yerine koyarsak:
8 = 4a + 2 \cdot 2 + c \quad \Rightarrow \quad 8 = 4a + 4 + c \quad \Rightarrow \quad 4 = 4a + c \quad \Rightarrow \quad 4a + c = 4
Şimdi seçenekleri kontrol edelim:
- ( (II) , 1 , -1 , 2 )
1 \cdot 4 + 2 = 4 \quad \text{sağlıyor}
Sonuç olarak doğru cevabımız II. seçenektir.
Nihai Cevap:
Doğru cevap II. seçenektir. ( a = 1, b = 2, c = 0 )