Acilçzöçabuk

Üniversite Matematik Bölümü
1

QQQQQQ
QQQQQQ720×568 21.8 KB

2

y = ax^2 + b eğrisi ile y = 2x^2 + cx eğrisinin A(-1,0) noktasında ortak bir teğet doğrusu varsa a, b ve c değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

Cevap:
Soruda verilen eğrilerin birbirine teğet olacakları ortak noktadaki eğimleri ve bu noktadaki teğet doğrusu denklemleriyle ilişkilendirmeliyiz. Adım adım çözüm yapalım:

Adım 1: Fonksiyonları Türev Alma

  1. Eğrilerin birinci türevlerini alalım:

    • y_1 = ax^2 + b eğrisi için:

      y_1' = \frac{dy_1}{dx} = 2ax

    • y_2 = 2x^2 + cx eğrisi için:

      y_2' = \frac{dy_2}{dx} = 4x + c

Adım 2: Eğrilerin Özel Noktadaki Eğimi

  1. A(-1,0) noktasında her iki eğrinin de türevlerini hesaplayalım:

    • y_1'(-1) = 2a(-1) = -2a
    • y_2'(-1) = 4(-1) + c = -4 + c

  2. Teğet doğrusu ortak olduğu için, eğimler eşit olmalı:

    -2a = -4 + c
    c = -2a + 4

Adım 3: Eğriler A Noktasından Geçmeli

  1. Her iki eğri de A(-1, 0) noktasından geçmeli:

    • y_1(-1) = a(-1)^2 + b = a + b
    • y_2(-1) = 2(-1)^2 + c(-1) = 2 - c

  2. Bu noktada y = 0 olduğuna göre:

    a + b = 0
    2 - c = 0 \implies c = 2

Adım 4: Çözüm Değerlerini Karşılaştırma

  1. c = 2 olduğunu bildiğimizden:

    c = -2a + 4 = 2 \implies -2a = -2 \implies a = 1
    a + b = 0 \implies 1 + b = 0 \implies b = -1

Sonuç

Elde edilen değerler a = 1 , b = -1 , c = 2 olmalıdır. Bu değerler (II) şıkkında verilmiştir.

Cevap: (II) a = 1 , b = -1 , c = 2