( y = ax^2 + b ) eğrisi ile ( y = 2x^2 + cx ) eğrisinin ( A(-1,0) ) noktasında ortak bir teğet doğrusu varsa ( a, b ) ve ( c ) değerleri aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap:
Soruda verilen eğrilerin birbirine teğet olacakları ortak noktadaki eğimleri ve bu noktadaki teğet doğrusu denklemleriyle ilişkilendirmeliyiz. Adım adım çözüm yapalım:
Adım 1: Fonksiyonları Türev Alma
- Eğrilerin birinci türevlerini alalım:
-
( y_1 = ax^2 + b ) eğrisi için:
y_1' = \frac{dy_1}{dx} = 2ax -
( y_2 = 2x^2 + cx ) eğrisi için:
y_2' = \frac{dy_2}{dx} = 4x + c
-
Adım 2: Eğrilerin Özel Noktadaki Eğimi
-
( A(-1,0) ) noktasında her iki eğrinin de türevlerini hesaplayalım:
- ( y_1’(-1) = 2a(-1) = -2a )
- ( y_2’(-1) = 4(-1) + c = -4 + c )
-
Teğet doğrusu ortak olduğu için, eğimler eşit olmalı:
-2a = -4 + cc = -2a + 4
Adım 3: Eğriler A Noktasından Geçmeli
-
Her iki eğri de ( A(-1, 0) ) noktasından geçmeli:
- ( y_1(-1) = a(-1)^2 + b = a + b )
- ( y_2(-1) = 2(-1)^2 + c(-1) = 2 - c )
-
Bu noktada ( y = 0 ) olduğuna göre:
a + b = 02 - c = 0 \implies c = 2
Adım 4: Çözüm Değerlerini Karşılaştırma
-
( c = 2 ) olduğunu bildiğimizden:
c = -2a + 4 = 2 \implies -2a = -2 \implies a = 1a + b = 0 \implies 1 + b = 0 \implies b = -1
Sonuç
Elde edilen değerler ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = 2 ) olmalıdır. Bu değerler (II) şıkkında verilmiştir.
Cevap: (II) ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = 2 )