Buna göre aşağıdaki uzunluklardan hangisi pistin uzunluğunun santimetre cinsinden değeri olamaz? (π = 3 alınız.)
Cevap:
Bu soruda, çapları 30 cm ve 40 cm olan iki farklı lastiğin oluşturdukları tekerlek çapı ve çevre değerlerini dikkate alarak pistin “uygun” uzunluklarını analiz etmemiz isteniyor. Soru metnine göre:
- Birinci lastiğin çapı (D₁) = 30 cm, ikinci lastiğin çapı (D₂) = 40 cm’dir.
- Lastiğin çevresi, çap değeri ile π’nın çarpımı şeklinde hesaplanır:
- Çevre formülü: Çevre = (Çap) × π
- Burada π = 3 (soru tarafından sabit olarak veriliyor).
Bu verilere göre:
- Birinci lastiğin çevresi: 30 cm × 3 = 90 cm
- İkinci lastiğin çevresi: 40 cm × 3 = 120 cm
Yukarıdaki değerler, bir lastiğin tam bir tur (360° dönüş) attığında kat ettiği mesafeyi ifade eder. Soruda, pistin bir ucunda çapı 30 cm olan lastik, diğer ucunda çapı 40 cm olan lastik olmak üzere iki lastik aynı anda hareket ettiriliyor ve her ikisi de tam tur sayısı kadar dönerek yolun orta noktasına kadar geliyor. Böylece:
- Küçük lastiğin (çapı 30 cm olan) pistin sol ucundan orta noktaya kadar gittiği mesafe:
L/2 = 90 × k (k tam sayı) - Büyük lastiğin (çapı 40 cm olan) pistin sağ ucundan orta noktaya kadar gittiği mesafe:
L/2 = 120 × m (m tam sayı)
Buradaki L, pistin toplam uzunluğudur. Her iki lastik de orta noktada buluştuklarına göre L/2, hem 90’ın hem 120’nin tam katı olmak zorundadır. Dolayısıyla:
L/2 ∈ Ortak Kat(90, 120)
90 = 2 × 3² × 5
120 = 2³ × 3 × 5
Bu iki sayının en küçük ortak katı (EKOK) = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360.
Dolayısıyla L/2, 360’ın bir tam katı olmak zorundadır. Yani:
L/2 = 360 × n ⇒ L = 720 × n
Buradan hareketle pistin toplam uzunluğu L, 720’nin pozitif tam katları şeklinde olmalıdır (720, 1440, 2160, …).
Soru seçenekleri şu şekildedir:
A) 360
B) 720
C) 1440
D) 2160
Bu değerlere teker teker bakarsak:
-
360 cm:
- Pist uzunluğu L = 360 cm ise L/2 = 180 cm olur.
- 180 cm, 90’ın tam katı (180 = 90 × 2) olsa da 120’nin tam katı değildir (180 ÷ 120 = 1.5). Dolayısıyla büyük lastik 1,5 tam tur atmış olur ki bu tam tur sayısı (tam sayı) değildir. Bu nedenle pistin yarısı 120’nin tam katı olamadığı için L = 360 cm olamaz.
-
720 cm:
- L = 720 cm ise L/2 = 360 cm.
- 360 cm, 90’ın 4 katı (360 = 90 × 4) ve 120’nin 3 katıdır (360 = 120 × 3). Yani her iki lastik de tam tur sayısına denk gelen tam mesafeyi kat edebilirler. Dolayısıyla 720 cm mümkündür.
-
1440 cm:
- L = 1440 cm ise L/2 = 720 cm.
- 720 cm, 90’ın 8 katı (720 = 90 × 8) ve 120’nin 6 katıdır (720 = 120 × 6). Yani her iki lastik için de tam tur sayısı sağlanır, uygundur.
-
2160 cm:
- L = 2160 cm ise L/2 = 1080 cm.
- 1080 cm, 90’ın 12 katı (1080 = 90 × 12) ve 120’nin 9 katıdır (1080 = 120 × 9). Yine her iki lastik de tam tur atarak orta noktada buluşabilir. Uygundur.
Görüldüğü üzere, seçenekler arasından “360 cm” olan pist uzunluğu, büyük lastiğin çevresini oluşturan 120 cm’nin tam katı olmayacağı için geçerli değildir. Diğer üç seçenek (720, 1440, 2160) 720’nin tam katları olarak karşımıza çıktığından, pistin yarısının 90 cm ve 120 cm ile tam turlar halinde örtüşmesi sağlanabilir.
Aşağıdaki tablo, bu durumun kısa özetini göstermektedir:
| Pist Uzunluğu (L) | L/2 | 90’a Bölünüyor mu? | 120’ye Bölünüyor mu? | Uygun mu? |
|---|---|---|---|---|
| 360 cm | 180 | Evet (2 kat) | Hayır (1.5 kat) | Hayır (Elendi) |
| 720 cm | 360 | Evet (4 kat) | Evet (3 kat) | Evet |
| 1440 cm | 720 | Evet (8 kat) | Evet (6 kat) | Evet |
| 2160 cm | 1080 | Evet (12 kat) | Evet (9 kat) | Evet |
Tabloda da görüldüğü gibi 360 cm dışındaki tüm değerler, “her iki lastik de yolun orta noktasına tam tur sayısı kadar dönerek ulaşır” koşulunu sağlamaktadır.
Dolayısıyla doğru cevap, pist uzunluğu değerleri arasından “360 cm”’dir. Yani bu uzunluk, soruda belirtilen gereken tam tur şartına uymaz ve “olamaz” denmek istenen seçenektir.
Sonuç:
- Olması gereken pist uzunluğu: L = 720 × n formundaki değerler (720, 1440, 2160, …)
- Soru seçenekleri arasından geçersiz olanı: 360 cm
Teşekkürler @Ecrin_Alara!