Djliö,i

YKS TYT
1

abf034d6-de24-4d75-89fa-0642c4d057e2
abf034d6-de24-4d75-89fa-0642c4d057e2720×491 39 KB

  • 360

  • B)

720

  • C)

1440

  • D)

2160

2

Buna göre aşağıdaki uzunluklardan hangisi pistin uzunluğunun santimetre cinsinden değeri olamaz? (π=3 alınız.)

Answer:

Bir pist üzerinde, çapları 30 cm ve 40 cm olan iki farklı lastik karşılıklı uçlardan aynı anda hareket etmeye başlıyor. Koşullar gereği, her iki lastik de pistin tam orta noktasına ulaştığında tam tur atmış oluyor. Yani 30 cm çaplı lastik, orta noktaya varana kadar kat ettiği mesafede yarım tur, çeyrek tur vb. değil, tam sayıda tur tamamlıyor. Aynı şekilde 40 cm çaplı lastik de orta noktaya kadar ilerlerken tam sayıda tur atıyor. Bu bilgi ışığında, pistin toplam uzunluğunun hangi seçenekteki değere sahip olamayacağını bulmamız isteniyor. Verilen olası uzunluklar şunlardır:

• A) 360
• B) 720
• C) 1440
• D) 2160

Aşağıdaki adımlar, soruyu nasıl çözeceğimizi ve hangi uzunluğun olası değer olamayacağını göstermektedir.

1. Gerekli Bilgiler ve Formüller

  1. Çap (R) ve Çevre Hesabı:

    • Bir çemberin çevresi, çapıyla π sayısının çarpımına eşittir:
      $$\text{Çevre} = \pi \times \text{Çap}$$
    • Soruda π = 3 olarak alınacaktır.

  2. Tekerleğin Tam Tur Şartı:

    • 30 cm çaplı lastik, tam bir tur attığında kat ettiği mesafe:
      $$\text{Çevre}_{30} = \pi \times 30 = 3 \times 30 = 90\text{ cm}$$
    • 40 cm çaplı lastik, tam bir tur attığında kat ettiği mesafe:
      $$\text{Çevre}_{40} = \pi \times 40 = 3 \times 40 = 120\text{ cm}$$

  3. Pistin Orta Noktasına Kadar Yol Alma:

    • Pist toplam uzunluğu: L
    • Orta noktaya kadar gidilen mesafe: L/2
    • 30 cm çaplı lastiğin orta noktaya kadar kat ettiği mesafe L/2, 90 cm’nin tam katı olmalıdır.
    • 40 cm çaplı lastiğin orta noktaya kadar kat ettiği mesafe L/2, 120 cm’nin tam katı olmalıdır.

  4. Ortak Kat (LCM) Kavramı:

    • Eğer bir uzunluk aynı anda 90 ve 120’nin katı olacaksa, bu uzunluğun 90 ve 120’nin en küçük ortak katının (EKOK) bir katı olması gerekir.
    • 90’ı ve 120’yi çarpanlarına ayırarak en küçük ortak katı bulmak mümkündür:
      • 90 = 2 × 3² × 5
      • 120 = 2³ × 3 × 5
      • EKOK(90, 120) = 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360
    • Dolayısıyla L/2 = 360 × k (k ∈ ℕ) olmalıdır.

  5. Toplam Pist Uzunluğunun Hesabı:

    • L/2 = 360k ise, L = 720k
    • Yani toplam pist uzunluğu 720’nin tam katları olmak zorundadır.

2. Adım Adım Çözüm

  1. 30 cm çaplı tekerleğin orta noktaya ulaşana kadar attığı tam tur sayısı:
    L/2 \div 90 = \text{tam sayı}
    Bu, L/2’nin 90’ın katı olduğunu ifade eder.

  2. 40 cm çaplı tekerleğin orta noktaya ulaşana kadar attığı tam tur sayısı:
    L/2 \div 120 = \text{tam sayı}
    Bu, L/2’nin 120’nin katı olduğunu ifade eder.

  3. L/2’nin Hem 90 Hem de 120’nin Katı Olması Gerekliliği:
    L/2 aynı anda 90 ve 120 nin katı ise L/2, EKOK(90,120) = 360’ın katı olmalıdır. Böylece:

    \frac{L}{2} = 360 \times k \quad \rightarrow \quad L = 720 \times k

  4. Seçeneklerin 720’nin Katı Olup Olmadığının Kontrolü:

    • A) 360: 360 ÷ 720 = 0.5 (katı değildir)
    • B) 720: 720 ÷ 720 = 1 (katıdır)
    • C) 1440: 1440 ÷ 720 = 2 (katıdır)
    • D) 2160: 2160 ÷ 720 = 3 (katıdır)

  5. Sonuç:
    Sadece 360 sayısı 720’nin tam katı olmadığı için pistin uzunluğu olarak 360 cm bulunması mümkün değildir. Dolayısıyla, sorunun doğru cevabı 360 cm’dir.

3. Detaylı İnceleme ve Önemli Notlar

  • Konu Özeti: İki farklı çaplı lastiğin aynı anda hareket ederek pistin orta noktasında buluşması, ortadaki mesafenin iki lastiğin çevrelerine tam bölünmesini gerektirir.
  • Neden 720’nin Katları? Çünkü her iki lastiğin çevresinin (90 cm ve 120 cm) en küçük ortak katı 360 cm’dir; pistin yarısının bu değere eşit olması, toplam pistin 720’nin katı olmasını zorunlu kılar.
  • Yanlış Yorumlar: Bazı sorularda, lastiklerin aynı mesafeleri kat ettiği veya farklı sayıda turla yarıya geldikleri düşünülür; ancak burada kritik olan, iki lastiğin farklı çevrelerine rağmen sadece pistin yarısına kadar bütün turlar atmasıdır.

4. Tekerlek Çevrelerine İlişkin Örnek Tablo

Aşağıdaki tabloda, iki lastiğin çapları ve çevreleri yan yana verilmiştir:

Lastik Çapı (cm) Çevre Hesabı Çevre Değeri (cm)
30 π × 30 = 3 × 30 90
40 π × 40 = 3 × 40 120

Bu tabloda görüldüğü üzere 30 cm çaplı lastik her bir turda 90 cm, 40 cm çaplı lastik ise her turda 120 cm yol alır. Pist uzunluğunun yarısı, bu iki değerin tam katı olmak zorundadır.

5. Sonuçların Değerlendirilmesi

  • Toplam piston yarısı 30 cm çaplı lastik için 90’ın katı; 40 cm çaplı lastik için 120’nin katı ise, yarısının 360’ın katı olduğu kesinleşir.
  • Dolayısıyla pistin tamamının uzunluğu 720 sayısının katları olmak zorundadır.
  • Verilen seçeneklerden sadece 360 sayısı 720’nin katı olmadığından olanaksız seçenektir.
  • Bu nedenle doğru yanıt 360 cm’dir.

@Hayrunnisa_uzelll