Bu probleme nasıl yaklaşabiliriz?
Verilen soruda, O merkezi etrafında yarıçapı 1 birim olan yarım çember üzerinde A ve B noktaları çemberin üzerinde, C noktası x ekseni üzerindedir. Ayrıca \angle ACO = \alpha ve [BA] \perp [CA].
Amaç: |AB| \cdot |AC| çarpımını \alpha cinsinden bulmak.
Adım Adım Çözüm
-
Koordinatlar:
- O(0,0), A(0,1), çünkü A noktası y ekseninde.
- B(x_1, y_1) ve C(x_2, 0) olarak varsayalım çünkü B noktası çemberin üstünde, C noktası x ekseni üstünde.
-
Yarım çemberin denklemi:
[
x^2 + y^2 = 1
]
Bunu B noktası için kullanırsanız x_1^2 + y_1^2 = 1 olur. -
Açı \alpha'nın kullanımı:
- Verilen m(\angle ACO) = \alpha, bu yüzden \angle ACO = \alpha.
- OC = 1, çünkü çemberin yarıçapı.
-
Trigonometrik ilişkiler:
- C noktasının x koordinatını yarı çap ve açıdan dolayı \cos(\alpha) olarak alabiliriz. Yani C(\cos(\alpha), 0).
-
Mesafe hesaplamaları:
- |AC|: A ve C arası mesafe \sqrt{(0-\cos(\alpha))^2 + (1-0)^2} = \sqrt{\cos^2(\alpha) + 1} olur.
- |AB|: Üçgenin dik olduğu için Pisagor teoreminden |AB| = |AC| \cdot \tan(\alpha).
-
Sonuç:
[
|AB| \cdot |AC| = (\sqrt{1 + \cos^2(\alpha)}) \cdot \tan(\alpha)
]
Bu işlemlerden sonra seçenekleri değerlendirerek en uygun sonucu bulabiliriz.
Özet: Bu şekildeki bir geometrik problemi çözmek için koordinat sistemi ve trigonometri bilgimizi kullanmalıyız. Hesaplamaların çok dikkatli ve düzenli yapılması gerekiyor. Sorunun cevabını bulmak için doğru trigonometrik ilişkiler oluşturulmalı ve basit cebirsel manipülasyonlar yapılmalıdır.