Verilen Soru ve Çözüm Mantığı
Soruda, ( a = 1 - 3^x ) ve ( b = 2 - 3^{-x} ) eşitlikleri veriliyor ve ( b ) sayısını ( a ) sayısı cinsinden yazmamız isteniyor. Bunun için ( x )'i elimine edecek şekilde bir işlem yaparak ( b )'yi yalnız bırakacağız.
Adım 1: ( a )'nın içinden ( 3^x )'i çekme
( a = 1 - 3^x ) verilmiş. Buradan ( 3^x )'i yalnız bırakalım:
3^x = 1 - a
Adım 2: ( b )'nin içindeki ( 3^{-x} )'i ( a ) cinsinden ifade etme
( b = 2 - 3^{-x} ) verilmiş. Burada ( 3^{-x} ), ( 3^x )'in çarpma işleminde tersi olarak yazılabilir:
3^{-x} = \frac{1}{3^x}
Bunu yerine koyarsak:
b = 2 - \frac{1}{3^x}
Adım 3: ( 3^x )'i yerine yazma
Bir önceki adımda bulduğumuz ( 3^x = 1 - a )'yı yerine koyalım:
b = 2 - \frac{1}{1 - a}
Adım 4: Paydadan kurtulup sadeleştirme
Payda durumlarıyla başa çıkmak için (\frac{1}{1-a})'yi sadeleştirelim:
b = 2 - \frac{1}{1-a}
Burada ortak paydaya geçmek için ( 2 )‘yi (\frac{1-a}{1-a})’ şeklinde yazalım:
b = \frac{2(1-a)}{1-a} - \frac{1}{1-a}
b = \frac{2 - 2a - 1}{1-a}
b = \frac{1 - 2a}{1-a}
Sonuç
( b )'nin ( a ) cinsinden ifadesi:
b = \frac{1 - 2a}{1 - a}
Bu ifade A şıkkında verilmiştir.
Sonuç Tablosu
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Adım | ( 3^x = 1-a ) | ( 3^x = 1 - a ) |
| 2. Adım | ( 3^{-x} = \frac{1}{3^x} ) | ( b = 2 - \frac{1}{1-a} ) |
| 3. Adım | Payda birleştirme | ( b = \frac{1 - 2a}{1-a} ) |
| Sonuç | ( b )'yi ( a ) cinsinden ifade ettik. | A Şıkkı Doğru |