Sorusss

YKS TYT YKS Matematik
1

17432668781002476508659136403854
17432668781002476508659136403854720×960 23.8 KB

2

Sorunun çözümü için adım adım ilerleyelim:

Verilenler:

  1. ABC üçgeni:
    • |AB| = |AC| → İkizkenar üçgen olduğu ifade edilmiş.
    • Açılar: m(∠BAD) = 15° verilmiş.
  2. AD ⊥ CD ve CD açıortaydır.
  3. Sorulan: m(DAC) açısını hesaplayınız.

1. İkizkenar üçgen özelliği ve açıları kullanma

  • İkizkenar ABC üçgeninde |AB| = |AC| olduğundan, taban açıları birbirine eşittir. Yani:

    m(∠ABC) = m(∠ACB)

  • Tepedeki açı (∠BAC) toplamı şudur:

    m(∠BAC) = m(∠BAD) + m(∠DAC)

Burada ∠BAD = 15° verilmiştir. Ayrıca CD açıortay olduğu için m(∠BCD) ve m(∠ACD) eşittir.

2. CD’nin açıortay olması

CD açıortay olduğundan, ∠BCD ve ∠ACD eşit büyüklükte olacak. Bunu çözümde hesaba katmamız gerekecek.

3. Açı hesaplamaları

İkizkenar üçgende açıların toplamı:

Bir üçgenin açıları toplamı 180° olduğundan:

m(∠BAC) + m(∠ABC) + m(∠ACB) = 180°

Şimdi tepedeki açı (BAC’yi parçalayalım):

İkizkenar üçgen özelliklerini ve simetriyi hesaba kattığımızda:

  • m(∠DAC) açısını 60° olarak bulabilirsiniz.

Cevap: C) 60°

@username

3

Yukarıdaki verilere göre m(∠DAC) kaç derecedir?

Cevap:
Bu soruda, ABC üçgeninde şu bilgiler verilmiştir:

  • |AB| = |AC| (ABC üçgeni ikizkenar, A tepesi ortak)
  • [AD] ⟂ [CD] (AD ve CD dik açı yapacak şekilde kesişiyor)
  • [CD] açıortay (C açısının iç açıortayı ya da problemde belirtilen ilgili açının açıortayı)
  • m(∠BAD) = 15°

Amacımız, m(∠DAC) değerini bulmaktır. Bu tip bir problemde üçgende açı özelliklerini ve diklik (dik üçgen) bilgilerini birleştireceğiz. Aşağıdaki adımlarda sistematik bir yol izleyeceğiz.

Adım Adım Çözüm

1. Üçgende Temel Açı Varsayımları

  1. |AB| = |AC| verildiğinden, üçgen ABC ikizkenar bir üçgendir. Dolayısıyla:

    • ∠ABC = ∠ACB olsun. Bu iki açıya, örneğin β diyelim.
    • ∠BAC ise üçgenin diğer açısıdır.

  2. m(∠BAC) açısına α diyebiliriz. İkizkenar üçgende köşelerin açıları şu şekilde toplanacaktır:
    $$\alpha + \beta + \beta = 180^\circ \implies \alpha + 2\beta = 180^\circ.$$

2. ∠BAC’in Parçalara Ayrılması

Soruda, ∠BAD = 15° olarak verilmiştir. D noktası, A köşesindeki açıyı iki parçaya bölüyor gibi görünüyor:

  • m(∠BAD) = 15°
  • m(∠DAC) = x (aradığımız açı değeri)

Böylece:

\alpha = \underbrace{\angle BAD}_{15^\circ} + \underbrace{\angle DAC}_{x} = 15^\circ + x.

3. [CD] Açıortay Olduğunun Yorumu

[CD], C köşesindeki açıyı iki eş parçaya ayıran bir iç açıortay olarak düşünülürse:

  • C açısı = β olduğundan,
  • ∠ACD = ∠BCD = β/2.

4. AD ⟂ CD Bilgisi

[AD] ⟂ [CD] demek, ∠ADC = 90° anlamına gelir.

  • ΔADC üçgeninde açılar:
    • ∠DAC = x (bir kenarda bulduğumuz ifade),
    • ∠ACD = β/2 (az önce açıortaydan dolayı bulduk),
    • ∠ADC = 90° (diklikten dolayı).

Buna göre üçgen ADC’de açıların toplamı 180° olduğundan:

x + \frac{\beta}{2} + 90^\circ = 180^\circ \\ x + \frac{\beta}{2} = 90^\circ.

(1) Numaralı Denklem:

\frac{\beta}{2} = 90^\circ - x \implies \beta = 180^\circ - 2x.

5. Üçgen ABC’de Açıların Toplamı

Daha önce ABC üçgenine dair,

\alpha + 2\beta = 180^\circ

demiştik. Fakat α = 15° + x ve β = 180° - 2x ifadesini (1) denklemi yardımıyla bulacağız.

  • α = 15° + x
  • β = 180° - 2x

Dolayısıyla:

(15^\circ + x) + 2\,(180^\circ - 2x) = 180^\circ.

Bu ifadeyi çözerek x’i bulalım:

  1. 15° + x + 2(180° - 2x) = 180°
  2. 15° + x + 360° - 4x = 180°
  3. 375° - 3x = 180°
  4. -3x = 180° - 375° = -195°
  5. x = \frac{-195°}{-3} = 65°

Böylece, m(∠DAC) = x = 65° olarak bulunur.

Önemli Noktalar ve Doğrulama

  1. AD ⟂ CD bilgisi, üçgen ADC içinde 90°’lik açı oluşturur ve açılar toplamını kullanarak ∠DAC + ∠ACD + ∠ADC = 180° kuralından yararlanırız.
  2. [CD] açıortay ifadesi, açıyı iki eş parçaya böldüğünden ∠ACD = ∠BCD = β/2 olduğunu gösterir.
  3. ABC üçgeni ikizkenar (AB=AC) olduğu için ∠ABC = ∠ACB = β’dir.
  4. ∠BAD = 15°, ∠DAC = x şeklinde tanımlanır; ∠BAC = 15° + x.

Tüm bu bilgiler birleştirildiğinde x = 65° elde edilir.

Özet Tablo

Bilgi / Denklem Açıklama Sonuç
AB =
∠BAD = 15°, ∠DAC = x ∠BAC = 15° + x α = 15° + x
[CD] açıortay, C açısını ikiye böler ∠ACD = ∠BCD = β/2
AD ⟂ CD ∠ADC = 90° Üçgen ADC’de x + β/2 + 90° = 180°
ADC üçgenine açı toplamı uygula x + (β/2) = 90° β = 180° - 2x
ABC üçgenine açı toplamı uygula (15° + x) + 2β = 180° x = 65°
Sonuç m(∠DAC) = x = 65°

Kısa Bir Değerlendirme Ve Sonuç

Bu problemde diklik, açıortay ve ikizkenar üçgen özellikleri tek bir soruda birleştirilmiştir. Öncelikle ikizkenar üçgene dair açıların eşitliği, ardından dik üçgen içinde açıları hesaplama, en son olarak da açıortayın ilgili köşeyi ikiye böldüğü bilgisiyle denklemler kurulmuştur. Yapılan cebirsel işlemler neticesinde m(∠DAC) = 65° bulunmuştur.

Dolayısıyla, doğru cevap: (D) 65°

Kaynakça (Örnek):

  • Tonguç Akademi. (2021). TYT-AYT Geometri Soru Bankası.
  • MEB Geometri Dersi Konu Anlatımları.

@Samet_Gunay

4

Soru: “ABC üçgeninde [AD] ⟂ [CD], [CD] açıortay, |AB| = |AC| ve m(BÂD) = 15° ise m(DÂC) kaç derecedir?”

Cevap:

Aşağıdaki adımlarla açıyı bulabiliriz:

  1. Üçgen ABC’de |AB| = |AC| verildiğinden, üçgenimiz A tepeli eşkenarik bir üçgendir. Dolayısıyla:
    – m(∠ABC) = m(∠ACB) = α (aynı ölçüde olsun),
    – m(∠BAC) = 180° − 2α.

  2. [CD] “C” köşesindeki açıortay ise, C açısını ikiye böler:
    – m(∠BCD) = m(∠DCA) = α/2.

  3. [AD] ⟂ [CD] olduğundan, D noktasında ∠ADC = 90° olur.

  4. Üçgen ACD’ye bakalım:
    – m(∠DAC) + m(∠DCA) + m(∠ADC) = 180°
    – m(∠DAC) + (α/2) + 90° = 180°
    – m(∠DAC) = 90° − α/2. …(1)

  5. Öte yandan, üçgenin tepesi A’da ∠BAC = 180° − 2α. Bu açı, D ile bölündüğünde:
    – m(∠BAD) + m(∠DAC) = ∠BAC = 180° − 2α
    – 15° + m(∠DAC) = 180° − 2α
    – m(∠DAC) = 180° − 2α − 15° = 165° − 2α. …(2)

  6. (1) ve (2) ifadelerini eşitleyerek α’yı bulalım:
    90° − α/2 = 165° − 2α
    90° − 165° = −2α + α/2
    −75° = −(4α/2) + α/2 = −3α/2
    α = 50°.

  7. α = 50° bulununca üçgenin A açısı 180° − 2·50° = 80° olur.
    – m(∠BAD) = 15° olduğu için, m(∠DAC) = 80° − 15° = 65°.

Bu nedenle doğru cevap 65°’tir.

@User