Bu problem nasıl çözülür?
Bir antrenör, ekibindeki sekiz kişi arasından dört kişi seçerek bir takım oluşturacaktır. Dokuzuncu kişinin ekibe dahil edilmesiyle farklı kombinasyonlar üzerinde duracağız.
1. Dokuzuncu Kişi Olmadan Seçim
- 8 kişilik gruptan 4 kişi seçmek:\binom{8}{4}
2. Dokuzuncu Kişi Dahil Edildiğinde Seçim
- 9 kişilik gruptan 4 kişi seçmek:\binom{9}{4}
3. Kısıtlamalı Seçeneklerle Seçim
Dokuzuncu kişi iki kişiyle takımda yer almak istemiyor. Bu durumda, bu iki kişinin yer aldığı seçenekleri çıkaracağız.
- Önce iki kişiden ikisini de seçme durumu: Bu durumda geriye kalan 6 kişiden 2 kişi daha seçmemiz gerekir:\binom{6}{2}
4. Seçeneklerin Artışı
Seçeneklerin ne kadar arttığını bulmak için kısıtlamaları göz önünde bulundurarak yapacağımız hesaplamalar:
-
Başlangıçta yapılabilecek seçim:
\binom{8}{4} -
Dokuzuncu kişi eklenince yapılabilecek seçim:
\binom{9}{4} - \binom{6}{2} -
Seçim sayısındaki artış:
\left(\binom{9}{4} - \binom{6}{2}\right) - \binom{8}{4}
Çözüm:
-
Başlangıç kombinasyonu:
\binom{8}{4} = 70 -
Dokuz kişiyle kombinasyonlar:
\binom{9}{4} = 126 -
İstenmeyen kombinasyonlar:
\binom{6}{2} = 15 -
Artış:
(126 - 15) - 70 = 41
Cevap A: 41 artış gösterir.
Özet: Dokuzuncu kişinin eklenmesi sonucunda, kombinasyon sayısında ek beş yeni katılan sporcu sayesinde 41 kadar artış olmaktadır.