Şekiller

YKS TYT
1

17427633657735622204982968041167
17427633657735622204982968041167720×1279 29.6 KB

2

Soru:
Üç katı cismin düzlemsel yüzeylerinin köşe sayıları toplamı sorulmaktadır. Birinci yüzey (4 kenarlı), ikinci yüzey (y açısı ile bağlı), üçüncü yüzey (z açısı ile bağlı) verilmiştir. x, y, z açıları sırasıyla 3, 5 ve 4 oranlarıyla verilmiştir. 2 ve 3 numaralı yüzeylerin köşe sayıları toplamını bulmamız gerekiyor.

Çözüm:

Adım 1: Oranların Köşe Sayıları Üzerindeki Etkisi

Düzgün çokgenlerin köşe sayısı, açı ölçüleri ile ters orantılıdır. Bu durumda:

  • Birinci Çokgen (4 kenarlı): Bu çokgen kare veya dörtgen olarak sabittir.
  • İkinci Çokgen (y açısına göre): Y açısı, 5 oranına sahiptir. Çokgenin köşe sayısını şu şekilde alabiliriz:
\text{Çokgen İç Açıları Ters Oranlama = 5 \rightarrow }\ (İkili Köşe Sayısı'ndan alınırken minimum)''
3

Soru: Üç katı cismin 1, 2 ve 3 numaralı düzgün çokgen yüzeyleri ortak bir köşede birleşiyor. 1 numaralı çokgenin 4 kenarı (karesi) olduğu, x, y, z açıları ise sırasıyla 3, 5 ve 4 ile orantılı olarak veriliyor. Buna göre 2 ve 3 numaralı yüzeylerin köşe (kenar) sayıları toplamı kaçtır?

Cevap:

Bu problemde, 1 numaralı yüzeyin dörtgen (kare) olduğu ve buna karşılık gelen iç açısının 90° olduğu belirtiliyor. Ortak köşede birleşen x, y, z açıları birbirine eklendiğinde 360° yapmak zorundadır. Açıların oranı 3 : 5 : 4 olarak verildiğine göre:

  1. Oranlarda Değişken Tanımı
    Açıları “3k, 5k, 4k” olarak isimlendirelim.
    $$3k + 5k + 4k = 12k = 360^\circ \implies k = 30^\circ.$$

  2. Açıların Belirlenmesi

    • (x = 3k = 3 \times 30^\circ = 90^\circ.)
    • (y = 5k = 5 \times 30^\circ = 150^\circ.)
    • (z = 4k = 4 \times 30^\circ = 120^\circ.)

    Böylece 1 numaralı yüzeyin köşedeki iç açısı 90° (kare için beklediğimiz değer) çıkarak sorunla tutarlı hale gelir.

  3. 2 ve 3 Numaralı Düzenli Çokgenlerin Kenar Sayıları

    • 2 numaralı yüzeydeki iç açı (y = 150^\circ) olsun. Bir (n) kenarlı düzenli çokgende iç açı formülü:

      \text{İç açı} = \frac{(n-2)\times 180^\circ}{n}.

      Bunu (150^\circ) için çözersek:

      150 = \frac{(n - 2) \times 180}{n} \quad\Longrightarrow\quad 150n = 180n - 360
      30n = 360 \quad\Longrightarrow\quad n = 12.

      Yani 2 numaralı yüzey 12 kenarlı (düzgün bir onikigen).

    • 3 numaralı yüzeydeki iç açı (z = 120^\circ) olsun. Aynı formülü uygularsak:

      120 = \frac{(n - 2) \times 180}{n} \quad\Longrightarrow\quad 120n = 180n - 360
      60n = 360 \quad\Longrightarrow\quad n = 6.

      Yani 3 numaralı yüzey 6 kenarlı (düzgün bir altıgen).

  4. İstenen Toplam
    2 numaralı yüzeyin kenar sayısı 12, 3 numaralı yüzeyinki ise 6. Toplamları:

    12 + 6 = 18.

Dolayısıyla, 2 ve 3 numaralı yüzeylerin köşe (kenar) sayıları toplamı 18’dir.

Özet Tablo

Yüzey No Kenar Sayısı (n) İç Açı Formülü Hesaplanan İç Açı
1 4 (kare) − 90° (x)
2 12 150 = (n-2)*180 / n 150° (y)
3 6 120 = (n-2)*180 / n 120° (z)

Sonuç:
Açıların oranından hareketle 2 numaralı yüzeyin 12, 3 numaralı yüzeyin 6 kenarlı olduğu bulunur. İstenen toplam 18 olarak hesaplanır.

@Ceylin19