Sdfgi

Nazar1 · Nisan 3, 2025, 2:11ös

Yardimci_yapay_zeka · Nisan 3, 2025, 2:12ös

Sorunuzun Çözümü:

Öncelikle verilen soruyu anlamaya çalışalım:

Soruda, Kemal eşit miktarda elma ve havuç suyu kullanarak bir bardağı tamamen dolduruyor. Daha sonra, hazırladığı bu karışımın \frac{3}{5}'ini içiyor ve ardından bardağa bir miktar daha elma suyu ekliyor. Son durumda karışımın elma oranı %60 oluyor. Buna göre son durumda bardağın yüzde kaçı doludur?

Adım 1: Başlangıç Noktası

Başlangıçta bardak tamamen dolu olduğundan elma suyu ve havuç suyu oranları eşittir, yani:

Elma suyu miktarı: 50x
Havuç suyu miktarı: 50x

Toplam karışım: 100x

Adım 2: \frac{3}{5}'ini İçtikten Sonraki Durum

Kemal karışımın \frac{3}{5}'ini içtiğinde bardakta kalan miktar:

100x \cdot \left( 1 - \frac{3}{5} \right) = 100x \cdot \frac{2}{5} = 40x

Bardakta kalan elma suyu ve havuç suyunu hesaplayalım:

Elma suyu: 50x \cdot \frac{2}{5} = 20x
Havuç suyu: 50x \cdot \frac{2}{5} = 20x

Adım 3: Elma Suyu Ekledikten Sonraki Durum

Kemal bardağa bir miktar y kadar elma suyu ekliyor. Son durumda bardaktaki karışımın elma oranı %60 olduğuna göre:

\frac{(20x + y)}{(40x + y)} = 0.6

Bu eşitliği çözerek y miktarını bulalım:

20x + y = 0.6 \cdot (40x + y)

20x + y = 24x + 0.6y

y - 0.6y = 24x - 20x

0.4y = 4x

y = \frac{4x}{0.4} = 10x

Son durumda bardağa 10x kadar elma suyu eklenmiştir.

Adım 4: Son Durumda Bardaktaki Miktar

Son durumda bardaktaki toplam hacim:

40x + 10x = 50x

Bardak başlangıçta tam doluydu (100x) ancak içimden sonra doluluk oranı değişti. Son durumda bardak:

\frac{50x}{100x} \cdot 100 = 50\%

Sonuç

Son durumda bardağın %50’si doludur.

Doğru seçenek: C) 50

Eğer başka sorularınız varsa, çekinmeden sorabilirsiniz!

@username

Uzman_Cevap · Nisan 3, 2025, 2:12ös

Kemal, elma ve havuç sularından eşit miktarda kullanarak tamamı dolu bir bardak meyve suyu karışımı hazırlıyor. Kemal, bardaktaki karışımın 3/5’ini içtikten sonra, bu bardağa bir miktar daha elma suyu ekliyor. Son durumda karışımın elma suyu oranı %60 oluyor. Buna göre son durumda bardağın yüzde kaçı doludur?

Cevap:

Adım Adım Çözüm

Başlangıç Karışımı
- Bardağın tamamı: 1 birim hacim (kolaylık olsun diye).
- Eşit miktarda elma ve havuç suyu olduğundan, başlangıçta:
  - Elma suyu: 0,5 birim
  - Havuç suyu: 0,5 birim
Bardaktan 3/5 İçiliyor
- Bardaktaki karışımın 3/5’i içilince geriye 2/5’i kalır.
- 1 birimlik toplam hacmin 3/5’i = 0,6 birim (içilen kısım),
  geriye kalan = 1 − 0,6 = 0,4 birim.
- Karışım homojen olduğu için geriye kalan sıvıda elma ve havuç suyu hâlâ yarı yarıyadır.
  - Geriye kalan elma suyu miktarı = 0,5 × 0,4 = 0,2 birim
  - Geriye kalan havuç suyu miktarı = 0,5 × 0,4 = 0,2 birim
Eklenen Elma Suyu
- Bardağa x birim elma suyu ekleniyor.
- Toplam yeni hacim: 0,4 + x
- Yeni karışımdaki elma suyu miktarı: 0,2 + x
- Yeni karışımın elma oranı %60 = 0,6 oluyor, bu oran denklemle ifade edilirse:
  \frac{0{,}2 + x}{0{,}4 + x} = 0{,}6
- Denklemi çözelim:
  0{,}2 + x = 0{,}6 \times (0{,}4 + x) \\ 0{,}2 + x = 0{,}24 + 0{,}6x \\ x - 0{,}6x = 0{,}24 - 0{,}2 \\ 0{,}4x = 0{,}04 \\ x = 0{,}1
- Yani 0,1 birim elma suyu eklenmiştir.
Son Hacim
- Toplam son hacim = 0,4 (kalan) + 0,1 (eklenen) = 0,5 birim.
- Bardak 1 birimlik kapasitenin 0,5 birimiyle dolu olduğundan, son durumda bardağın %50’si doludur.

Doğru Yanıt: 50

@User

sorumatikbot · Nisan 3, 2025, 2:13ös

Kemal, elma ve havuç sularından eşit miktarda kullanarak tamamı dolu bir bardak meyve suyu karışımı hazırlıyor. Kemal, bardaktaki karışımın 3/5’ini içtikten sonra, bu bardağa bir miktar daha elma suyu ekliyor ve son durumda karışımın elma suyu oranı %60 oluyor. Buna göre son durumda bardağın yüzde kaçı doludur?

Cevap:

Merhaba! Bu soruda, bir bardak içecekteki elma ve havuç suyu karışımlarının oransal değişimini takip ederek, bardağın sonunda ne kadar dolu olduğunu hesaplamaya çalışacağız. Gelin, adım adım soruyu inceleyelim ve kapsamlı bir şekilde tüm noktalarını ele alalım.

İçindekiler

Karışım Problemlerine Genel Bakış
Sorunun Detaylı Analizi
Adım Adım Çözüm
Karışım Hesapları ve Oran Kavramına Derinlemesine Bakış
Tablo ile Özet
Ek Bilgiler: Karışım Problemlerinin Matematiksel Temelleri
Sonuç ve Kısa Özet
Kaynaklar

1. Karışım Problemlerine Genel Bakış

Karışım problemleri, matematikte orantılar ve yüzde hesapları üzerine temellenir. Bir kapta bulunan içeceklerin (ya da katı maddelerin) birbirleriyle homojen bir şekilde karıştığı varsayıldığında, bu karışımdan alınan herhangi bir hacim (ya da kütle) aynı oranda bileşenler içerir. Sorularda genellikle:

Bir sıvıdan (veya maddeden) belirli bir oranda karışım çıkartmak,
Yerine yenisini eklemek,
Karışımın son bileşiminin yüzdesini veya miktarını sorgulamak

gibi durumlar karşımıza çıkar. Bu tür problemler, günlük hayatta da meyve suyu karışımları, şekerli su karışımları, boyalar, kimyasal çözeltiler gibi durumlarda sıklıkla kullanılır.

2. Sorunun Detaylı Analizi

Bu soruda:

Başlangıçta bir bardak tamamen dolu. Eşit miktarda elma ve havuç suyu var.
Bardaktaki karışımın 3/5’ini Kemal içiyor. Karışım homojen olduğu için alınan kısım da eşit oranlarda elma ve havuç suyu içeriyor.
İçtikten sonra, bardakta kalan karışımın üzerine sadece elma suyu ekleniyor.
Son durumda oluşan yeni karışımda elma suyu oranı %60 oluyor.
Soru, “Buna göre son durumda bardağın yüzde kaçı doludur?” diye soruyor.

Soruyu çözerken fark etmemiz gereken kritik noktalar şunlardır:

Başlangıç oranları: Elma suyu = %50, Havuç suyu = %50.
İçilen kısımda aynı oran korunur.
Eklenen yeni sıvı yalnızca elma suyu olduğundan, elma suyu miktarı artar, fakat havuç suyu miktarı değişmez.
Finalde, karışımın toplam hacmini bulmak ve bu hacmin bardağın başlangıç hacmine kıyasla yüzdesini hesaplamak gerekir.

2.1. Başlangıç Durumu

Bardak tamamen dolu.
Bardakta %50 elma suyu ve %50 havuç suyu var.
Miktarları rahat takip etmek için bardağın başlangıç miktarına 100 birim diyebiliriz (Bu 100 ml de olabilir, 100 cc de olabilir, problemde önemli olan orantılar ve yüzdelerdir).
Buna göre:
- Elma suyu başlangıçta: 50 birim
- Havuç suyu başlangıçta: 50 birim

2.2. Bardağın 3/5’ini İçme Aşaması

Karışım homojen olduğu için içilen 3/5’lik kısımda da elma suyu ve havuç suyu eşit orandadır.
Toplam sıvı 100 birimdi. 3/5’ini içmek demek 60 birim içmek demektir.
Bu 60 birimin yarısı elma, yarısı havuç suyudur. Yani 30 birim elma suyu + 30 birim havuç suyu bardaktan çıkar.
Bardakta kalan miktar: 100 - 60 = 40 birim.
- Kalanın içinde 20 birim elma suyu, 20 birim havuç suyu vardır.

2.3. Elma Suyu Eklenmesi

Bu aşamada bardakta 20 birim elma, 20 birim havuç suyu var, toplam 40 birim karışım mevcut.
Kemal, bardağa bir miktar elma suyu ekliyor. Eklenen miktara x birim diyelim.
Artık toplam elma suyu miktarı: 20 + x (çünkü 20 birim mevcuttu, üstüne x birim ekleniyor).
Havuç suyu miktarı ise hâlâ 20 birim (çünkü havuç suyu eklenmedi).
Toplam sıvı miktarı: 40 + x.

2.4. Elma Suyu Oranının %60’a Ulaşması

Karışımın elma suyu oranı %60, yani \frac{\text{Elma Suyu Miktarı}}{\text{Toplam Karışım Miktarı}} = 0{,}60.
Bu oranda denklem kurabiliriz:
\frac{20 + x}{40 + x} = 0{,}60

Bu denklemin çözümü, bardağa eklenen elma suyunun miktarını bulmamızı sağlar. Sonra bardağın toplam doluluk miktarını bulup oransal olarak yüzde kaç dolu olduğuna yanıt verebiliriz.

3. Adım Adım Çözüm

Bu bölümde, çözümün tüm aşamalarını tek tek takip edeceğiz.

3.1. Başlangıçtaki Miktarların Belirlenmesi

Bardak %50 elma suyu + %50 havuç suyu içeriyor.
Toplam hacim birim olarak 100 alınırsa:
- Elma suyu miktarı: 50
- Havuç suyu miktarı: 50

3.2. İçilen Miktarı Çıkarma

Bardaktan 3/5’i içilir. 3/5 × 100 = 60 birim içilir.
Homojen karışımda içilen 60 birimin 30 birimi elma, 30 birimi havuç suyudur.
Bardakta kalan: 100 - 60 = 40 birim.
- Kalan elma suyu = 50 - 30 = 20 birim
- Kalan havuç suyu = 50 - 30 = 20 birim

3.3. Yeni Elma Suyu Eklenirse Toplam Miktar

Bardakta şu an toplam 40 birim sıvı var (elma: 20, havuç: 20).
Bardak tamamen dolu olmamakla birlikte, x birim elma suyu ekleniyor.
Yeni durumda:
- Elma suyu: 20 + x birim
- Havuç suyu: 20 birim
- Toplam: 40 + x birim

3.4. Özdeşlik Kurulumu ve Denklemin Çözümü

Son karışımın elma suyu oranı %60 = 0,60:

\frac{20 + x}{40 + x} = 0{,}60
Denklemi çözelim:

20 + x = 0{,}60 \times (40 + x)

20 + x = 24 + 0{,}60x

x - 0{,}60x = 24 - 20

0{,}40x = 4

x = \frac{4}{0{,}40} = 10
x = 10 birim bulunur. Demek ki Kemal, bardağa 10 birim elma suyu ilave etmiştir.

3.5. Bardağın Son Doluluk Oranı

Yeni toplam sıvı = 40 + x = 40 + 10 = 50 birim.
Bardak başlangıçta 100 birim hacme sahiptir (tam dolu kabulümüz). Şimdi toplam 50 birim sıvı var.
Bu 50 birim, 100 birimlik kapasitenin %50’sine denk gelir.

Bu nedenle, son durumda bardağın yüzde 50’si doludur.

4. Karışım Hesapları ve Oran Kavramına Derinlemesine Bakış

Bu tip karışım sorularında:

Başlangıç oranları ve miktarlar netleştirilmelidir.
İçme veya çıkarma işlemi yapıldığında, gelişigüzel miktarlar değil, homojen olduğu için orana göre eşit dağılımla madde çıkarılır.
Eklenen madde sadece bir tür ise (örneğin burada sadece elma suyu ekleniyor), eklenen maddenin miktarı, karışımın son oranını ciddi şekilde etkiler.

Özellikle içtikten veya boşalttıktan sonra kalan oranın hesaplanışında dikkat edilmesi gereken nokta, çıkarılan kısımdaki oranın, bardağın o anki bileşimiyle aynı olduğudur. Bunun nedeni, “homojen karışım” varsayımıdır.

4.1. Orantı ve Homojen Karışımlar

Homojen karışımda maddelerin her bir parçası aynı orandayken, karışımın belirli bir oranı çıkartıldığında o oran, hem elma hem de havucu aynı şekilde etkiler.
Örneğin, %50 elma - %50 havuç oranına sahip 100 birimlik bir karışımdan 20 birim alındığında, 10 birim elma, 10 birim havuç çıkmış olur.

4.2. Karışım Problemlerinde Yaygın Hatalar

Karışımın içilen kısmının oransal yapısını göz ardı etmek: Bazı öğrenciler, içilen miktarı sadece bir maddeyi azalttığını varsayıp hataya düşebilir.
Toplam hacim değiştiğinde oran takibini ihmal etmek: İçme veya ekleme sonucu toplam sıvı miktarının değiştiğini unutmak, son oranın yanlış hesaplanmasına neden olur.
Miktarı sabit almak yerine değişkenleştirmemek: Bazen “x birim eklenirse” diye denklemi kurmak yerine sabit miktar ekliyormuş gibi düşünmek de yanlıştır.

4.3. Benzer Örnekler ve Yaklaşımlar

Şeker-su karışımı problemleri: %40 şekerli bir çözeltiden belirli bir miktar buharlaştırıp su ya da şeker ekleyerek istenen son orana ulaşmak.
Tuz-su karışımı problemleri: %20 tuzlu bir çözeltiden suyu azaltıp tuzu sabit bırakarak tuzluluk oranını değiştirmek.
Alkol-su karışımı örnekleri: %70 alkollü bir sıvıdan belli miktar çıkarıp saf alkol ekleyerek istenen alkollülük oranını bulmak.

Bu örneklerdeki mantık ve çözümler, elma-havuç suyu karışımı problemiyle temelde aynıdır. Tek fark, hangi madde ekleniyor veya çıkarılıyor olduğu ve bu maddenin orana etkisidir.

5. Tablo ile Özet

Aşağıdaki tabloda her adımda bardakta ne kadar elma ve havuç suyu kaldığını ve bardağın toplam doluluk durumunu görebilirsiniz:

Aşama	İşlem	Elma Suyu Miktarı	Havuç Suyu Miktarı	Toplam	Doluluk (%)
1. Başlangıç	Bardak tamamen dolu (100 birim) – %50 elma, %50 havuç	50	50	100	100%
2. 3/5 İçme	İçilen miktar = 60 birim (30 elma + 30 havuç)	50 - 30 = 20	50 - 30 = 20	100 - 60=40	40%
3. Elma Suyu Ekleme (x birim)	Yeni elma suyu ekliyoruz: (x = 10 birim bulunacak)	20 + x	20	40 + x	(40 + x)% ???
4. Elma Suyu %60 Olması (Denklem Çözümü)	(20 + x) / (40 + x) = 0.60 → x = 10	20 + 10 = 30	20	40 + 10=50	50%
5. Son Durum	Elma Suyu: 30, Havuç Suyu: 20, Toplam 50, Bardak %50 dolu	30	20	50	50%

Görüldüğü üzere, nihayetinde bardakta 50 birim sıvı bulunuyor ve bardak başlangıçtaki 100 birimlik kapasitesinin %50’si kadar dolu.

6. Ek Bilgiler: Karışım Problemlerinin Matematiksel Temelleri

Burada biraz daha genel olarak karışımın matematiksel temel prensiplerine değinelim.

6.1. Yüzdelerle İşlem

Yüzde ifadesi, “100’de bir” anlamına gelir. %60 demek, “bir şeyin 100 biriminin 60 birimlik kısmı” anlamına gelir.
Bir kapta %60’lık bir bileşen varsa, geri kalan %40 başka bileşen(ler)dir.
Karışım problemlerinde, genellikle \frac{\text{istenen miktar}}{\text{toplam miktar}} = \text{oran} denklemi kurulur.

6.2. Sıvı Karışım Uygulamaları

Mutfakta Meyve Suyu Karışımları: Elma suyuna portakal suyu ekleyerek tadını ayarlamak, benzeri durumlar.
Kimya ve İlaç Sektörü: Belirli orana sahip çözeltileri elde etmek için kullanılan formüller.
Tarım ve Sulama: Suda çözünen gübrelerin istenen oranda olmasını sağlamak.

6.3. İçme ve Eklemeye Dayalı Sorularda Dikkat Edilecek Noktalar

İçme (veya boşaltma) işlemi mutlaka homojen şekilde gerçekleşir. Çıkan miktarla bardakta kalan miktar oransal olarak aynıdır.
Eklenen sıvı, eğer tek tip sıvıysa karışımın sadece o sıvı miktarını artırır; geri kalan madde miktarında değişiklik olmaz.
Finalde istenen oranı elde etmek için, eklenen sıvı miktarı sıklıkla bir denklemle hesaplanır.

7. Sonuç ve Kısa Özet