Gerçek katsayılı dördüncü dereceden bir P(x) polinom fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir. Olduğuna göre, P(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?
Cevap:
Verilen bilgilere göre:
- ( P(-2) = 0 )
- ( P(1) = 0 )
- ( P(3) = 80 )
Polinomun grafiği y eksenine göre simetrik olduğuna göre, polinom yalnızca çift terimler içermelidir. Bu durumda dördüncü dereceden bir polinom formu aşağıdaki gibi olacaktır:
P(x) = ax^4 + bx^2 + c
Şimdi verilen bilgileri kullanarak denklemleri kurmamız gerekiyor.
- ( P(-2) = 0 ) denklemini yerine koyarak:
P(-2) = a(-2)^4 + b(-2)^2 + c = 0
16a + 4b + c = 0 \quad \text{ (Denklem 1)}
- ( P(1) = 0 ) denklemini yerine koyarak:
P(1) = a(1)^4 + b(1)^2 + c = 0
a + b + c = 0 \quad \text{ (Denklem 2)}
- ( P(3) = 80 ) denklemini yerine koyarak:
P(3) = a(3)^4 + b(3)^2 + c = 80
81a + 9b + c = 80 \quad \text{ (Denklem 3)}
Bu üç denklemi sistematik olarak çözmemiz gerekiyor:
- Denklemler 1 ve 2’den c’yi elimine edelim:
- ( 16a + 4b + c = 0 )
- ( a + b + c = 0 )
( (16a + 4b + c) - (a + b + c) = 0 )
15a + 3b = 0
5a + b = 0 \quad \text{(Denklem 4)}
- Denklem 3’ten c’yi elimine edelim:
- ( 81a + 9b + c = 80 )
- ( a + b + c = 0 )
( (81a + 9b + c) - (a + b + c) = 80 )
80a + 8b = 80
10a + b = 10 \quad \text{(Denklem 5)}
Şimdi, Denklem 4 ve Denklem 5’i çözelim:
- ( 5a + b = 0 )
- ( 10a + b = 10 )
Denklem 4’den b’yi aşağıdaki gibi buluruz:
b = -5a \quad \text{(Denklem 6)}
Bu değeri Denklem 5’te yerine koyarsak:
10a + (-5a) = 10
5a = 10
a = 2
Bu değeri Denklem 6’da yerine koyarsak:
b = -5 \cdot 2 = -10
Son olarak, ( a ) ve ( b ) değerlerini Denklem 2’ye yerine koyarak ( c )'yi bulalım:
a + b + c = 0
2 - 10 + c = 0
c = 8
Sonuç: Polinomun sabit terimi ( c ) olduğuna göre, sabit terim:
(\boxed{8}).