Verilen Soru:
a, b ve c birer pozitif tam sayıdır.
[ a + b + c = 9 ]
denklem için kaç farklı sıralı üçlü (a, b, c) yazılabilir?
Çözüm:
Bu tür probleme pozitif tam sayılardan oluşan toplam problemleri denir. Pozitif tam sayılar olduğu için her bir değişkenin en az 1 olması gerekir.
-
Öncelikle toplam değerinden her bir sayının 1 olma zorunluluğunu çıkaralım:
[
a + b + c = 9 \quad \Rightarrow \quad (a-1) + (b-1) + (c-1) = 6
]
[
x = a-1, \quad y = b-1, \quad z = c-1 \quad \text{ise} \quad x + y + z = 6
] -
Artık pozitif yerine pozitif veya sıfır olan tam sayılar kullanabiliriz. Bu toplam problemi, sıfır olmayan tam sayılar kullanılarak yapılabilir:
-
[(x, y, z)] üçlülerinin [x + y + z = 6] denklemine kaç farklı şekilde sağladığını bulmalıyız. Bunu genelleştirilmiş yıldız ve çubuklar yöntemiyle bulabiliriz:
[
\binom{6 + 2}{2} = \binom{8}{2} = 28
] -
Bu durumda toplam 28 farklı (a, b, c) sıralı üçlüsü yazılabilir.
Cevap: C) 28
Özet: Verilen denklem için pozitif tam sayılarla toplam çözüldü ve belirtilen üçlülerin kaç farklı kombinasyonda yazılabileceği hesaplandı. 28 farklı sıralı üçlü elde edildi.