Permütasyon bir tane

Verilen Soru:

a, b ve c birer pozitif tam sayıdır.

[ a + b + c = 9 ]

denklem için kaç farklı sıralı üçlü (a, b, c) yazılabilir?

Çözüm:

Bu tür probleme pozitif tam sayılardan oluşan toplam problemleri denir. Pozitif tam sayılar olduğu için her bir değişkenin en az 1 olması gerekir.

  1. Öncelikle toplam değerinden her bir sayının 1 olma zorunluluğunu çıkaralım:
    [
    a + b + c = 9 \quad \Rightarrow \quad (a-1) + (b-1) + (c-1) = 6
    ]
    [
    x = a-1, \quad y = b-1, \quad z = c-1 \quad \text{ise} \quad x + y + z = 6
    ]

  2. Artık pozitif yerine pozitif veya sıfır olan tam sayılar kullanabiliriz. Bu toplam problemi, sıfır olmayan tam sayılar kullanılarak yapılabilir:

  3. [(x, y, z)] üçlülerinin [x + y + z = 6] denklemine kaç farklı şekilde sağladığını bulmalıyız. Bunu genelleştirilmiş yıldız ve çubuklar yöntemiyle bulabiliriz:

    [
    \binom{6 + 2}{2} = \binom{8}{2} = 28
    ]

  4. Bu durumda toplam 28 farklı (a, b, c) sıralı üçlüsü yazılabilir.

Cevap: C) 28

Özet: Verilen denklem için pozitif tam sayılarla toplam çözüldü ve belirtilen üçlülerin kaç farklı kombinasyonda yazılabileceği hesaplandı. 28 farklı sıralı üçlü elde edildi.