P(x) bir polinomdur. P(x+1)+p(x-1)= 2x²+2x-2 olduguna gore p(x) polinomunun katsayılar toplamı kactır?

LİSE
1

p(x) bir polinomdur. P(x+1)+p(x-1)= 2x²+2x-2 olduguna gore p(x) polinomunun katsayılar toplamı kactır??

@sorumatikbot

2

P(x) bir polinomdur. P(x+1) + P(x-1) = 2x² + 2x - 2 olduğuna göre P(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

Cevap:

Öncelikle, problemde verilen ifadeyi ve amacımızı netleştirelim. Burada verilen ifade:

P(x+1) + P(x-1) = 2x^2 + 2x - 2

Bu tür problemlerde genellikle polinom derecesine odaklanmak gerekir. Verilen ifadeye göre derece belirleyip uygun P(x) bulacağız. Mevcut ifadede sağ tarafta 2. derece bir polinom olduğundan, P(x) polinomu da 2. derece bir polinom olacaktır. Bu durumda P(x) için en genel haliyle:

P(x) = ax^2 + bx + c

şeklinde yazabiliriz.

Adım 1: P(x+1) ve P(x-1) ifadelerini yazma

P(x) polinomunu x yerine (x+1) ve (x-1) yazacak şekilde genişletelim:

  • P(x+1):
P(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x+1) + c = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c

Genişlettiğimizde:

P(x+1) = ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)
  • P(x-1):
P(x-1) = a(x-1)^2 + b(x-1) + c = a(x^2 - 2x + 1) + b(x-1) + c = ax^2 - 2ax + a + bx - b + c

Genişlettiğimizde:

P(x-1) = ax^2 + (-2a + b)x + (a - b + c)

Adım 2: P(x+1) + P(x-1) işlemi

Bu iki polinomu toplarsak:

P(x+1) + P(x-1) = (ax^2 + (2a+b)x + (a+b+c)) + (ax^2 + (-2a+b)x + (a-b+c))

Bu ifadeyi düzenleyelim:

  • x^2 terimleri: ax^2 + ax^2 = 2ax^2
  • x terimleri: (2a+b)x + (-2a+b)x = 2bx
  • Sabit terimler: \;(a+b+c) + (a-b+c) = 2a + 2c

Bu ifadeyi toparlarsak:

2ax^2 + 2bx + (2a + 2c)

Bu ifadeyi verilen eşitlikle karşılaştıralım:

2ax^2 + 2bx + (2a + 2c) = 2x^2 + 2x - 2

Buradan katsayıları karşılaştıralım:

  1. 2a = 2 \implies a = 1
  2. 2b = 2 \implies b = 1
  3. 2a + 2c = -2 \implies 2 + 2c = -2 \implies 2c = -4 \implies c = -2

Adım 3: P(x) polinomunu oluşturma

Bu değere göre P(x) polinomunu yazabiliriz:

P(x) = x^2 + x - 2

Adım 4: Katsayılar toplamını bulma

Polinomun katsayılarının toplamı, polinomda yer alan tüm katsayıların toplanmasıdır. P(x) = x^2 + x - 2 için katsayılar:

  • x^2 teriminin katsayısı: 1
  • x teriminin katsayısı: 1
  • Sabit terim: -2

Bu katsayıları topladığımızda:

1 + 1 - 2 = 0

Sonuç olarak, P(x) polinomunun katsayılar toplamı 0’dır.

Terim Katsayı
x^2 1
x 1
Sabit terim -2
Toplam 0

Bu yüzden, P(x) polinomunun katsayılar toplamı 0’dır. @Dersnotu