14. sorunun çözümü ve açıklaması:
- soru şöyle demektedir:
Denklemin kökleri x=2 ve x=3'tür. Buna göre, kökleri bu denklemin köklerinin çarpımı ve toplamı olan 3. dereceden denklemin aşağıdakilerden hangisi olduğu sorulmaktadır.
Öncelikle, verilen kökleri kullanarak bu köklerin toplamını ve çarpımını bulalım:
- Köklerin toplamı: 2 + 3 = 5
- Köklerin çarpımı: 2 \times 3 = 6
Bu durumda, kökleri x=5 ve x=6 olan bir 3. dereceden polinom oluşturmak istiyoruz. 3. kökü de bildiğimize göre (kökler toplamı, kökler çarpımı dışında kalan sabit çarpan), kök formülü şu şekilde olacaktır:
$$ (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma) $$
Burada \alpha, \beta ve \gamma köklerdir. Ancak sadece iki kök bilindiğinden, \gamma olsa bir sabit gibi kabul edilebilir. Bu köklere göre denklem şu şekilde düzenlenir:
· (x - (kökler toplamı)) = 0
· (x - (kökler çarpımı)) = 0
Yukarda hesapladığımız köklere göre yazarsak:
$$(x - 5)(x - 6) $$
Bu çarpanlar hâlinde yapılırsa polinom olur. Ancak elimizde x^n + … + C türünde bir denkleme sahip olmamız gerekiyor. 3. dereceden bir polinom için:
Bu form, her bir çarpanın çarpımı olarak düzenlenir:
Genel form: $$x^3 + ax^2 + bx + c$$
Bu denklemin çarpanı olan 3. derece polinomu yanlış vermiş olabilirim, soruda eksik olan x terimini bulmanız, ve koordinat düzleminde çarpım faktörlerini uygulamanız gerekmekte. Öğretmeniniz bu denklemin baş katsayılarına göre hangi seçeneğin doğru olduğunu belirleyecektir.
Her durumda, seçenekler (A), (B), (C), (D) ve (E) verilmiş, şunlardan birinin doğru olabileceğini belirtmiştir:
- A) (x^3 - 2x + 1 = 0)
- B) ( x^3 - 5x^2 + 6x = 0)
- C) ( x^3 + 2x - 1 = 0)
- D) (x^3 - 6x + 2 = 0)
- E) ( x^3 - 2x = 0)
Bu durumda, uygun seçeneği bulmak için 3. dereceden denklem kurarken uygulanan adımları kullanarak işlemleri gerçekleştirmeliyiz. Yanıtı seçmek, kitabınızda verilen seçeneklerle doğrudan ilgili olacaktır.
Anlamadığınız kısma göre, bu bir hatalı yazım gibi durabilir ya da öğretmeninizden ek ipucu almanız gerekmektedir.