Görseldeki soru, A kümesinin en fazla iki elemanlı görüntü kümesine sahip fonksiyonların sayısını soruyor.
Küme A = \{a, b, c\} olarak verilmiş. Fonksiyonlarımız A \to A biçiminde olacak ve bu fonksiyonların görüntü kümeleri en fazla iki eleman içerecek.
İlk olarak, görüntü kümesinin tam olarak bir elemanı varsa bu durumda fonksiyon sabit fonksiyondur. Yani tüm elemanlar \{a\}, \{b\} veya \{c\}'ye gider. Bu durumda toplam 3 fonksiyon vardır.
Görüntü kümesinin iki elemanı olduğunu düşünelim, örneğin \{a, b\}. Burada c elemanı ya a'ya ya da b'ye gönderilecektir. Her bir eleman (a, b), (a, c) veya (b, c)'den birine gönderilebilir.
Seçilen iki elemanın dizilimi için \binom{3}{2} kombinasyon seçeneğimiz vardır:
-
\{a, b\}: Buradaki 3 elemanın 2^3 olasılığı vardır. Ancak bu durumda tam anlamıyla 2 farklı elemanın kullanılması gerekir. Bu yüzden tüm elemanlar aynı yere gittiği durumu çıkarırız, yani \{a, a, a\} ve \{b, b, b\} durumlarından kaçınmalıyız. 1 ile 3 arasında 3 olasılık vardır.
-
\{a, c\}
-
\{b, c\}
\binom{3}{2} \times (2^3 - 2) kombinasyonu vardır ki bu da (3 \times 6) = 18'dir.
Sonuç olarak, toplam fonksiyon sayısı 3 + 18 = 21 olur. Bu da doğru yanıtın B) 21 olduğunu gösteriyor.