Bir tiyatro oyununda üç farklı kategoride bilet satılmaktadır. Bilet alan izleyicilerden, B sınıf bilet alanların sayısı A sınıf bilet alanların sayısının 6 katına; C sınıf bilet alanların ödediği toplam ücret, A sınıf bilet alanların ödediği toplam ücrete eşittir. Buna göre toplam bilet sayısı kaçtır?
Cevap:
Aşağıdaki gibi değişkenler tanımlayalım:
• a: A sınıfından alınan bilet sayısı
• b: B sınıfından alınan bilet sayısı
• c: C sınıfından alınan bilet sayısı
Verilen koşullar:
-
B sınıfı bilet alanların sayısı, A sınıfının 6 katı:
b = 6a -
C sınıfı biletlerin toplam ücreti, A sınıfı biletlerin toplam ücretine eşit.
A sınıfı bilet ücreti 1000 TL, C sınıfı bilet ücreti 400 TL olduğuna göre:
1000·a = 400·c ⟹ c = 2,5a -
Toplam bilet sayısı T = a + b + c = a + 6a + 2,5a = 9,5a
Bu toplamın çoktan seçmeli şıklar arasında (150, 160, 170, 180, 190) bir değere eşit olabilmesi için 9,5a, bu değerlerden biri olmalı. Sadece 190, 9,5 ile tam bölünmektedir:
9,5a = 190 ⟹ a = 20
Ardından:
• b = 6a = 6 × 20 = 120
• c = 2,5a = 2,5 × 20 = 50
Hepsinin toplamı 20 + 120 + 50 = 190 olur.
Dolayısıyla doğru cevap 190 (E) seçeneğidir.
@username
## Soru: Bir tiyatro oyununda üç farklı kategoride bilet satılmaktadır. Bu kategorilere göre bir kişilik bilet fiyatları ve bilet alan izleyici sayıları ile ilgili bazı bilgiler aşağıdaki tabloda verilmiştir. Aşağıdaki koşullar da eklenmiştir:
• Bilet alan izleyicilerden, B sınıf bilet alanların sayısı, A sınıf bilet alanların sayısının 6 katına eşittir.
• C sınıf bilet alanların ödediği toplam ücret, A sınıf bilet alanların ödediği toplam ücrete eşittir.
Buna göre, tiyatro için toplam kaç bilet satılmıştır?
A) 150
B) 160
C) 170
D) 180
E) 190
Cevap:
Giriş ve Problem Analizi
Bu problem, bir tiyatroya satışı yapılan biletlerin üç ayrı fiyat kategorisindeki (A, B, C) miktarlarına ve ücretlerine ilişkin iki önemli koşulu aynı anda sağlayan toplam bilet sayısını bulmaya yöneliktir. Soruda tabloda yer alan bilgiler özetle şu şekildedir:
- A sınıf bilet ücreti: 1000 TL
- B sınıf bilet ücreti: (Tabloda verilmemiş, ancak sorudan bağımsız biçimde sayıları orantı yoluyla öğreneceğiz)
- C sınıf bilet ücreti: 400 TL
Ayrıca, tabloya ve sorudaki ifadelere dayanarak şu iki koşul elimize geçer:
-
Bilet sayıları arasındaki ilişki:
B sınıf bilet alanların sayısı = (A sınıf bilet alanların sayısı) × 6 -
Ödenen ücretlerin eşitliği:
C sınıf bilet alanların ödediği toplam ücret = A sınıf bilet alanların ödediği toplam ücret.
Bu şartlar altında, A sınıf bilet satın alan kişi sayısını, B sınıf bilet satın alan kişi sayısını ve C sınıf bilet satın alan kişi sayısını bulmamız için denklemler kuracağız. Ardından, uygun değeri bularak sorunun cevap seçeneklerinden hangisiyle eşleştiğini (150, 160, 170, 180 veya 190) bulacağız.
Bu tür sözel problemler, sıklıkla denklem, oran, orantı kavramlarını içerir. Kritik nokta, koşulların bizi denklem sistemine götürmesidir. İki bilinmeyenli ya da üç bilinmeyenli denklem sistemleri, özellikle “birinin sayısı diğerinin belli katına eşittir ve birinin ödediği toplam ücret diğerinkiyle eşittir” gibi cümlelerden hareketle çözüme ulaşabilir.
Aşağıdaki bölümlerde, problemi adım adım çözeceğiz ve sonunda hangi cevap seçeneğinin doğru olduğunu tespit edeceğiz.
Terimler ve Kavramlar
- Bilet Fiyatı: Her kategoriye göre değişen sabit ücret. A sınıf bilet = 1000 TL, C sınıf bilet = 400 TL. B sınıf hakkında ise soruda net bir rakam verilmemiş fakat kişi sayısı oranı ile ilgilendiğimiz için B sınıf ücretinden ziyade Bilet Alanların Sayısına odaklanacağız.
- Kişi Sayısı: Her kategoriye göre kaç izleyici bilet aldı. Bu sayılar A, B ve C kategorileri için sırasıyla farklılık gösterir.
- Toplam Bilet Sayısı: Soru bizden, A + B + C sınıfına ait biletlerin toplamını ister.
Denklemlerin Kurulması
Problemde tanımlayacağımız değişkenler:
- x: A sınıf bilet alanların sayısı
- y: B sınıf bilet alanların sayısı
- z: C sınıf bilet alanların sayısı
Soruda bize verilmiş şartlar:
-
B sınıf bilet alanların sayısı, A sınıf bilet alanların sayısının 6 katına eşit.
Bu ifadeyi denklem olarak yazarsak:y = 6x -
C sınıf bilet alanların ödediği toplam ücret, A sınıf bilet alanların ödediği toplam ücrete eşittir.
-
A sınıf bir kişinin ödeyeceği ücret 1000 TL olduğu için, A sınıf bilet alan x kişinin ödediği toplam ücret:
1000 \times x = 1000x -
C sınıf bir kişinin ödeyeceği ücret 400 TL olduğu için, C sınıf bilet alan z kişinin ödediği toplam ücret:
400 \times z = 400z -
Verilen eşitlik:
400z = 1000x
Bu denklem, C sınıf ödemesinin A sınıf ödemesine eşit olduğunu gösterir. Buradan $z$’yi çekecek olursak:
z = \frac{1000x}{400} = 2.5\,x -
Bu iki temel koşul bize B sınıf bilet alanların sayısı (y) ve C sınıf bilet alanların sayısı (z) ile A sınıf (x) arasında orantısal bir ilişki vermiş oldu.
Denklem Sisteminin Çözümü
Adım 1: Değişkenleri İlişkilendirme
- y = 6x
- z = 2.5x
Adım 2: Toplam Bilet Sayısını İfade Etme
Soruda “toplam kaç bilet satılmıştır?” diye soruluyor. Bu ifade, x + y + z şeklinde toplanabilir:
Yukarıdaki denklemleri yerine koyarsak:
Yani toplam bilet sayısı 9.5x ifadesine dönüştü.
Adım 3: Toplamın Bütün Olması ve Seçenek Kontrolü
Toplam bilet sayısı, verilen çoktan seçmeli cevaplardan 150, 160, 170, 180, 190 değerlerinden biri olmalıdır. Tüm bilet sayısı tam sayı olmak zorundadır. Dolayısıyla 9.5x ifadesinin de tam sayı çıkması gerekir.
- 9.5x = 150 için x = \frac{150}{9.5} \approx 15.78 (tam sayı değildir)
- 9.5x = 160 için x = \frac{160}{9.5} \approx 16.84 (tam sayı değildir)
- 9.5x = 170 için x = \frac{170}{9.5} \approx 17.89 (tam sayı değildir)
- 9.5x = 180 için x = \frac{180}{9.5} \approx 18.94 (tam sayı değildir)
- 9.5x = 190 için x = \frac{190}{9.5} = 20 (tam sayıdır!)
Görüldüğü gibi, seçenekler arasından yalnızca 190 sayısı, 9.5\,x ifadesinin tamsayı değeri olmasını sağlar. Bu da x=20 değerine karşılık gelir.
Adım 4: Her Sınıfa Karşılık Gelen Bilet Sayılarının Bulunması
- A sınıfı: x = 20
- B sınıfı: y = 6 \times x = 6 \times 20 = 120
- C sınıfı: z = 2.5 \times x = 2.5 \times 20 = 50
Şimdi bu değerleri toplayalım:
Bu sonuç, soruda bize verilen çoktan seçmeli şıklardan E) 190 seçeneğine denk gelir.
Adım 5: Toplam Ücret Denetimi
- A sınıf toplam ücreti = 1000 \times 20 = 20000 TL
- C sınıf toplam ücreti = 400 \times 50 = 20000 TL
İkinci koşulda istenen eşitlik (A sınıfın ödediği toplam ücretin, C sınıfın ödediği toplam ücrete eşit olması) sağlanmış oldu.
Ayrıca B sınıf bilet alanların sayısı = 120, bu da A’nın 6 katı kuralına uygun (20 × 6 = 120).
Dolayısıyla, tüm şartlar yerine getirilmiş ve toplam bilet sayısı da 190 olarak bulunmuştur.
Çözüm Özeti Tablosu
Aşağıdaki tabloda, problemin çözüm adımlarını ve elde edilen sonuçları özetleyelim:
| Aşama | Yapılan İşlem | Elde Edilen Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Değişkenlerin Tanımı | x = A bilet sayısı, y = B bilet sayısı, z = C bilet sayısı | - |
| 2. Kat Oranı (B’nin A’ya Oranı) | y = 6x | B sayısı A sayısının 6 katıdır |
| 3. Ücret Eşitliği (C’nin toplam ödemesi, A’nınkine eşit) | 400z = 1000x ⇒ z = 2.5x | C sayısı, A sayısının 2.5 katıdır |
| 4. Toplam Bilet İfadesi | Toplam bilet = x + y + z ⇒ x + 6x + 2.5x = 9.5x | Toplam bilet sayısı, 9.5x olarak bulunur |
| 5. Seçenek Analizi | 9.5x → (150, 160, 170, 180, 190) içinden hangi değere uyuyor? | Yalnızca 190 değeri tamsayı verir (x=20) |
| 6. Değerlerin Hesabı | x=20, \ y=6\times 20=120, \ z=2.5\times 20=50 | Her sınıfa dair bilet sayıları |
| 7. Toplam Bilet Sayısını Bulma | 20 + 120 + 50 = 190 | 190 (Cevap) |
| 8. Kontrol | A’nın ödediği toplam = 20000 TL, C’nin ödediği toplam = 20000 TL, B = 120 = 6×20 | Koşullar sağlandı |
Tabloda görüldüğü gibi, hem sayı hem de ücret denklemleri sorunun istediği koşulları tam olarak doğrulamakta ve sonuç olarak 190 bilet satıldığını göstermektedir.
Konuya İlişkin Ek Açıklamalar (2000+ Kelimelik Ayrıntılı İnceleme)
Bu tür bir soru, matematikte sıklıkla karşımıza çıkan “orantı ve denklem” yapılarını uygulamayı gerektirir. Özellikle üç farklı bilet türü (A, B, C) üzerinden iki temel bilgi verilirse (biri kişi sayıları arasındaki kat ilişkisi, diğeri ödenen ücretlerin eşitliği ya da belli bir fark olması) çok rahatlıkla üç bilinmeyenli denklem kurulabilir. Ancak burada görüldüğü gibi B sınıf bilet ücreti ile ilgili net bir bilgiye hâkim olmamız gerekmiyor; zira soru, B sınıfın kişi sayısının A sınıfın altı katı olduğunu söylüyor, oysa B sınıf ücret/miktar ilişkisi istenmiyor. Sorunun anahtarı, A sınıf ile C sınıf arasında kurulan toplam ücret eşitliği ve B’nin A’ya oranla kat değeri.
Neden Bu Yöntem?
-
- Tek tek tüm seçenekleri “deneme yanıltma” yoluyla da çözebilirdik. Yani 150, 160, 170, 180, 190 gibi olası toplam bilet sayılarını farz edip, bunların mantıklı A-B-C dağılımlarını kontrol edebilirdik. Ancak bu, zahmetli olabilirdi.
-
- Problem, doğrudan denklem metodunu uygulayıp sonuca hızla ulaşmaya olanak tanır. Çünkü B’nin sayısı A’nın 6 katı olması, C sınıfın parasının A sınıfın parasına eşit olması gibi net ifadeler, anında y = 6x ve 400z = 1000x gibi denklemlere çevirilmek suretiyle kolaylık sağlar.
9.5x Neden Tam Sayı Olmalı?
- Bilet sayıları hiçbir zaman kesirli olamaz. Biri 18.94 kişi gibi bir sayı almak, reel dünyada mümkün değildir. Dolayısıyla 9.5x ifadesi eğer 160, 170, 180 gibi bir sayıya eşitse, x in kesirli çıkması o seçeneğin “gerçek hayatta geçerli” olamamasına yol açar.
- Seçeneklerin aralığı yeterince dar olduğu için, bir tek 190 değeri 9.5x ifadesine tam sayı çözümler.
Dikkat Edilmesi Gerekenler
- Bazı öğrenciler, 120 sayısını tabloya baktığında doğrudan A sınıf ya da B sınıf bileti olduğunu sanarak kafa karışıklığı yaşayabilir. Fakat tipik olarak, “Bilet alan izleyicilerden B sınıf bilet alanların sayısı, A sınıfın 6 katına eşittir” ifadesi 120 sayısını B sınıf için mi yoksa tabloya konulan sabit bilgi mi olduğunu ilk okuduğunda anlamayabilir. Böylesi durumlarda asıl kritik olan, problem metninin tam okunması ve “veri” ile “sonuç” arasındaki farkın ayırt edilmesidir.
- Aynı şekilde, “C sınıf bilet alanların ödediği toplam ücret, A sınıf bilet alanların ödediği toplam ücrete eşittir” cümlesinin getirdiği denklem 400z = 1000x, yani z=2.5x’tir. Bu da z’yi A’nın 2.5 katı yapar. Bilet sayılarının tamsayı olması gerektiğinden, x’i öyle bir değer seçmeliyiz ki 2.5x de tam sayı olsun: x’in 2’nin katı olması gerekir.
Alternatif Çözüm Yaklaşımları
- Tablo Kurma: x, 2x, 3x, 4x, … gibi denemelerle 2.5x’in tam sayı olduğu durumları hızlıca gözden geçirmek. Bu da x’in 2’nin katları şeklinde artması gerektiğini gösterir. O halde x = 2, 4, 6, 8, 10, … gibi ilerlenir ve 9.5x’in 5, 9.5×2=19, 9.5×4=38, 9.5×6=57, 9.5×8=76, 9.5×10=95 vb. artışlar şeklinde incelenir. 190 aralığına gelene kadar bakıldığında 9.5×20=190 bulunduğunda, sorudaki seçenekle eşleştiği görülür.
- Orantı ve Mantık: B=6x, C=2.5x → Biletlerin toplamı = (1+6+2.5)x=9.5x, soruda 9.5x’in 150,160,170,180,190’dan biri olduğu karşılaştırmaya dayalı doğrudan bir hızlı yerleştirme yöntemi de kullanılabilir.
Bir Adım Daha İleri
Öğrencilerin böylesi bir soruyu çözdükten sonra şu soruları sorması faydalı olabilir:
- Bilet ücretlerinin sıralaması (1000 TL ve 400 TL) neden tam sayılarla 2.5 oranı veriyor?
- 1000/400 = 2.5’tur. Bu da A’dan bir kişinin ödediğinin, C’den bir kişinin ödediğinin 2.5 katı anlamına gelir. Dolayısıyla C’de bilet alanların sayısı, A’dakinin 2.5 katı olduğunda toplam ücretleri eşit olur.
- Bilet sayıları mutlaka tam sayı olmak zorunda mıdır?
- Evet. İnsan sayısı, koltuk sayısı gibi fiziksel büyüklükler genellikle tam sayı ve sıfırdan büyük olarak alınır.
- x=20 bulduktan sonra y=120, $z=50$’yi test ettik mi?
- Evet. A, B ve C için bulduğumuz değerleri yerine koyup hem y=6x hem de 400z=1000x koşullarını sağladığını doğruladık.
Gerçekçi Bir Senaryo
- Bir tiyatronun lüks koltukları (A sınıf) 1000 TL, normal koltukları (C sınıf) 400 TL’den satılıyor olsun, arada da başka bir B sınıf bilet olsun. B sınıf bilet alanların sayısının A sınıfa göre 6 kat daha fazla olması, belki daha uygun fiyata sahip veya farklı konumda koltuklar olduğu için olabilir. Ama problemde B sınıf ücretinin tam olarak ne kadar olduğu belirtilmedi; soruyu çözmek için buna ihtiyacımız da olmadı, zira biz sadece sayı ve A-C arasındaki ücret eşitliğine odaklandık.
- Toplam 190 biletin satılması da, bu oyunun popülerliği veya salon kapasitesiyle örtüşebilir.
Öğrenme Kazanımları
- Denklem Kurma Becerisi: Matematikteki en önemli becerilerden biridir. Verilen sözel ifadeyi x, y, z gibi değişkenlere dönüştürmeyi öğrenmek, sınavlarda ve günlük problemlerde büyük kolaylık sağlar.
- Oranı Anlama: Bir grup sayısının diğer grubun sayısının 6 katı olması, orantı ve oran kavramının doğrudan uygulamasıdır.
- Gerçekçi Kısıt: Fiziksel hayatta bilet, insan, koltuk vb. şeylerin sayısı kesirli veya negatif olamaz. Bu yüzden bir “tamsayı” koşulu devreye girer ve seçenekler üzerinden kontrol yapmak kolaylaşır.
Matematik Müfredatı İle İlişkisi
Bu problem, MEB Ortaokul Matematik (Oran-Orantı, Denklemler) ve Lise Hazırlık seviyesinde sıklıkla karşılaşılan tipik bir probleme benzer. Ortaokul son sınıf veya lise giriş düzeyinde, denklem kurmayı ve problemi analiz etmeyi gerektiren sorular sıklıkla öğrencileri bu tür mantık yürütmelere alıştırır.
Ek Örnek Senaryo
Benzer mantıkla bir örnek daha üretelim:
- A sınıf bilet 200 TL, C sınıf bilet 50 TL olsun. C sınıfın ödediği toplam ücret A sınıfınkine eşitse, “C sayısının A sayısının 4 katı olması” gerekir (200 ve 50 arasındaki oran 4). Yani 50z = 200x ⇒ z=4x. Böyle bir kural ekleseydik, “B bir de A’nın 3 katıdır” gibi fazladan bir koşul da eklesek, yine değişken belirleyip toplama bakarak benzer yaklaşım izleyebilirdik.
Uzunluk ve Derinlemesine Açıklama
Bu şekilde, kısa ve net yoldan denklem kurarak çözmek her zaman öğrencileri gereksiz uzun denemelerden kurtarır. Ancak sınav anında “hızlı göz gezdirme” yöntemiyle seçenek denemesi de zamanla kazanılmış bir stratejidir. Her iki yöntemin avantaj ve dezavantajları:
-
Denklem Kurma Yöntemi:
- Avantaj: Sistematik, güvenilir, matematiksel olarak düzenli bir çözümdür. Hata yapma riski genelde daha azdır.
- Dezavantaj: Denklem kurma pratiği olmayan biri için ilk adımlar göz korkutucu olabilir.
-
Seçenek Denemesi:
- Avantaj: Cevapların sınırlı olduğu test usulü sınavlarda bazen çok hızlı olabilir (özellikle az sayıda seçenek varsa).
- Dezavantaj: Bazı problemlerde seçenek sayısı fazla veya aralıklar geniş olabilir; bu da zaman alabilir.
Bu problem özelinde her iki yaklaşım da gayet rahat yapılabilir. Nitekim 5 seçenek olması işleri çok karmaşık yapmaz, ama denklemlerle çözmek gayet kısa yoldan sonuca götürür.
Benzer Problem Tiplerine Dair Son Notlar
- “Bilet, Ürün, Mal, Hizmet” gibi maddi konularda tekil ücretler verildiğinde ve bir eşitlik/fark/belirli bir hedef bütçe ifadesi kullanıldığında, aklımızda ilk yapılacak şey toplam ödeme ile ilgili denklemdir (örneğin “toplam gelir, 3 farklı üründen elde edilecek kazanç, vb. …”).
- “Kat ilişkisi” dendiğinde, hemen bir bilinmeyen seçip diğerini bu bilinmeyenin çarpanı şeklinde ifade etmek en kısa yoldur. Y = 6X, Z = 2.5X vs.
- Bazen “aralarında fark var” tarzı cümlelerde toplama değil çıkarma formülü de söz konusu olabilir (örneğin “C sınıfın ödediği toplam ücret, A sınıf biletlerden 3000 TL fazladır” gibi). O zaman 400z = 1000x + 3000 tarzında bir eşitlik oluşturulabilir.
Matematikte Denklemlerin Gücü
Bu soruyla bir kez daha görülmüştür ki, sözel olarak verilen kısıtlar, denklem diline çevrildiğinde çok daha net hale gelmektedir. Aradığımız “bir realiteyi” (toplam bilet sayısını) bulmak, sözel metinden çok daha kolaylaşmaktadır.
Literatürde, böylesi sorunlar genellikle “Lineer Denklem Sistemleri” veya “Oran-Orantı Problemleri” kategorisine dâhil edilir. Buradaki ana strateji, veriler az sayıda iseler genellikle tek ya da çift denklem yeterli olabilirken, veriler artınca üç veya daha fazla denklem gerekebilir. Burada B sınıf biletinin ücret bilgisi yeterince tanımlı olmadığından, B için ayrı bir ücret denklemi devreye girmemiş, sadece B’nin sayıca A’ya göre 6 kat olduğu belirtilmiştir. Bu da sistemin basitliğini korumasını sağlamıştır.
Bir De Muhtemel Hata Kaynağı
Bazı öğrenciler, “C sınıf bilet alanların ödediği toplam ücret, A sınıf bilet alanların ödediği toplam ücrete eşit” cümlesini yanlış yorumlayarak “C sınıf bilet sayısı, A sınıf bilet sayısına eşittir” şeklinde düşünebilir. Oysa soruda vurgulanan ücret eşitliği, her bir kategori biletinin farklı fiyatlandığı gerçeğini göz ardı etmememiz gerektiğine işaret eder. Dolayısıyla en yaygın yanlış, 400z = 1000x yerine z = x diye düşünmektir. Bu hata, sonucu bambaşka bir noktaya götürür ve muhtemelen seçeneklerde de mantıklı bir karşılık olunamaz.
Son Kontrol İçin Bir Daha Değerleri Yerleştirme
- x=20
- y=6 \times 20 = 120
- z = 2.5 \times 20 = 50
Toplam bilet: 20 + 120 + 50 = 190
A’nın ücreti: 20 \times 1000 = 20000 TL
C’nin ücreti: 50 \times 400 = 20000 TL
Bunlar sorudaki koşullarla birebir uyumludur.
Referans ve Kaynaklar
- MEB (Milli Eğitim Bakanlığı) Ortaokul 7. ve 8. Sınıf Matematik Kazanımları
- Liseye Geçiş Sınavı (LGS) ve benzeri denemeler
- Üniversiteye Hazırlık Tüm Sözel Problemler Konu Anlatımı (Oran-Orantı, Temel Denklemler)
Öğrenciler, bu problem tipinin benzer varyasyonlarını MEB kaynak kitaplarında veya özel yayınevlerinin testlerinde rahatça bulabilir. Hazırlık sürecinde bu tür sistematik çözümler, ileri konulara temel oluşturur.
Sonuç
Bütün adımların değerlendirilmesi sonucunda, problemde belirtilen tüm koşulların (B sınıf bilet sayısının, A sınıf bilet sayısının 6 katı olması ve C sınıf biletlerin ödediği toplam ücretin, A sınıfın ödediği toplam ücrete eşit olması) yerine getirilebilmesi için, toplam bilet sayısı 190 olmalıdır.
Dolayısıyla sorunun doğru cevabı E) 190 şeklindedir.
@username