Gufefmu3

YKS TYT
1

17445494442137533681239823573480
17445494442137533681239823573480720×963 30.2 KB

2

Soru çözümü için detaylı açıklama

Verilenler:

  1. Tam bilet: 4 TL

  2. Öğrenci bileti: 2,5 TL

  3. 65 yaş ve üzeri: Ücretsiz (0 TL)

  4. Öğrenci sayısı, tam biletli yolcu sayısının 2 katıdır.

  5. 65 yaş ve üzeri yolcu sayısı, tam biletli yolcu sayısının 7 katıdır.

  6. Otobüsteki tüm yolculardan alınan toplam ücret: 126 TL.

Bu verilerle otobüste 65 yaş ve üzeri kaç yolcu olduğunu bulmamız gerekiyor.

Çözüm:

Tam biletli yolcu sayısını x olarak kabul edelim.
O zaman:

  • Öğrenci biletli yolcu sayısı 2x olur.
  • 65 yaş ve üzeri yolcu sayısı 7x olur.

Gelir hesaplaması:

Tam biletlerden elde edilen gelir:

4 \cdot x = 4x \, (\text{4 TL fiyat ile tüm tam biletler})

Öğrenci biletlerden elde edilen gelir:

2,5 \cdot 2x = 5x \, (\text{2,5 TL fiyat ile 2x tane öğrenci bileti})

65 yaş ve üzeri yolculardan elde edilen gelir:
0 \cdot 7x = 0 TL. (Ücretsiz oldukları için gelir 0 TL)

Toplam gelir:

4x + 5x + 0 = 9x

Bu toplam, soruya göre 126 TL olarak verilmiştir.

Denklem:

9x = 126

x’i bulalım:

x = \frac{126}{9} = 14

Yolcu sayıları:

  • Tam biletli yolcu sayısı: x = 14
  • Öğrenci biletli yolcu sayısı: 2x = 28
  • 65 yaş ve üzeri yolcu sayısı: 7x = 98

Sonuç:

Otobüste 65 yaş ve üzeri yolcu sayısı 98’dir.

Cevap: 98

@Nazar_Demir

3

Buna göre, otobüste 65 yaş ve üzeri kaç yolcu vardır?

Cevap:

Aşağıdaki çözümde, her bilet türü için değişken tanımlayarak ve verilen ücret bilgilerini kullanarak toplam ücretin 126 TL olmasını sağlayacak denklemi kuruyoruz.

Adım Adım Çözüm

  1. Değişkenleri Tanımlayalım

    • Tam biletli yolcu sayısı: T
    • Öğrenci biletli yolcu sayısı: O
    • 65 yaş ve üzeri yolcu sayısı: Y

  2. Verilen Bağıntılar

    • Öğrenci biletli yolcu sayısı, tam biletli yolcu sayısının 2 katıdır:
      $$O = 2T$$
    • Öğrenci biletli yolcu sayısı, 65 yaş ve üzeri yolcu sayısının 7 katıdır:
      $$O = 7Y$$

  3. Denklik Oluşturma
    İki eşitlikten dolayı:
    $$2T = 7Y \quad \Longrightarrow \quad T = \frac{7}{2}Y$$

  4. Toplam Ücret Denklemi

    • Tam bilet ücreti: 4 TL
    • Öğrenci bileti: 2,5 TL
    • 65 yaş ve üzeri ücretsiz: 0 TL

    Dolayısıyla toplanan ücret:

    \text{Toplam} = 4 \times T + 2,5 \times O + 0 \times Y = 126

    Ancak T = \frac{7}{2} Y ve O = 7Y olduğundan:

    4 \times \left(\frac{7}{2}Y\right) + 2,5 \times (7Y) = 126

  5. Denklemi Basitleştirme ve Çözme

    • İlk terim:
      4 \times \frac{7}{2}Y = 14Y
    • İkinci terim:
      2{,}5 \times 7Y = 17{,}5Y
    • Toplam:
      14Y + 17{,}5Y = 126 \\ 31{,}5Y = 126
    • Buradan Y değeri:
      Y = \frac{126}{31{,}5} = 4

  6. Sonucun Yorumlanması
    Y = 4; yani otobüste 65 yaş ve üzeri olan 4 yolcu vardır.

Bu hesabı yaptıktan sonra, sırasıyla T ve O değerlerini de isterseniz bulabilirsiniz, ancak soru yalnızca 65 yaş ve üzeri yolcu sayısını sorduğundan, doğrudan 4 sonucu yeterlidir.

Doğru Yanıt: 4

@Nazar_Demir

4

Bir halk otobüsünde yolculara uygulanan ücret tarifesi aşağıdaki gibidir:

Tam bilet: 4 TL
Öğrenci bileti: 2,5 TL
65 yaş ve üzeri: Ücretsiz

Otobüste bulunan öğrenci sayısı, tam biletli yolcu sayısının 2 katı ve aynı zamanda 65 yaş ve üzeri yolcuların sayısının 7 katıdır. Otobüsteki tüm yolculardan alınan toplam ücret 126 TL’dir.
Buna göre, otobüste 65 yaş ve üzeri kaç yolcu vardır?

Cevap:

İçindekiler

  1. Giriş
  2. Problemin Detaylı Analizi
  3. Değişkenlerin Belirlenmesi ve Anlamları
  4. Matematiksel Denklemlerin Kurulması
  5. Adım Adım Çözüm
    1. Denklemlerin Birleştirilmesi
    2. Denklemlerin Çözümü
    3. 65 Yaş Üzeri Yolcu Sayısının Bulunması
  6. Çözümün Doğrulanması
  7. Örnekler ve Alternatif Senaryolar
    1. Öğrenci ve Tam Biletli Yolcu Sayıları Farklı Olsa
    2. Bilet Fiyatları Değişse
  8. Ayrıntılı Konu Anlatımı (Matematiksel Yaklaşımın Özü)
  9. Sık Yapılan Hatalar ve Çözüm Önerileri
  10. Özet Tablo ile Değerlerin İncelenmesi
  11. Sonuç ve Kısa Özet
  12. Kaynakça veya Referanslar

1. Giriş

Bu problem, bir otobüs içerisindeki üç farklı yolcu kategorisinin (tam biletli, öğrenci ve 65 yaş üstü) sayılarını birbirleriyle ilişkilendiren ve toplam bilet gelirine dayalı bir denklem sistemi kurmayı gerektirir. Problemde verilen kritik bilgiler şunlardır:

  • Tam bilet fiyatı: 4 TL
  • Öğrenci bilet fiyatı: 2,5 TL
  • 65 yaş ve üzeri için bilet ücreti: Ücretsiz (0 TL)
  • Öğrenci sayısının, tam biletli yolcu sayısının 2 katı olduğu bilgisi.
  • Aynı öğrenci sayısının, 65 yaş ve üzeri yolcu sayısının 7 katı olduğu bilgisi.
  • Toplam elde edilen ücretin 126 TL olduğu bilgisi.

Bu bilgilere dayanarak, 65 yaş ve üzeri yolcu sayısının bulunması istenmektedir.

Bu sorunun çözümü için, önce bilinmeyenleri belirlemeli, sonra uygun denklemleri oluşturmalı ve en son adımda bu denklemleri çözerek sorunun yanıtına ulaşmalıyız. Bu süreçte hem cebirsel hem de mantıksal düşünme becerileri ön plana çıkar.

2. Problemin Detaylı Analizi

Problem iki ana bölümden oluşur:

  1. Yolcu kategorileri arasındaki sayı ilişkileri (öğrenci sayısının, tam biletli sayısının 2 katı; aynı öğrenci sayısının, 65 yaş üstü sayısının 7 katı).
  2. Bilet fiyatlarına göre elde edilen toplam gelir (126 TL).

Bu iki unsur ayrı ayrı incelendiğinde, herhangi bir hatayı önlemek için adım adım ilerlemek gerekir. Önce, hangi tür biletlerin ücrete tabi olduğu, hangi tür biletlinin ücretsiz olduğu ve ilişkilerin nasıl kurulduğu netleştirilir.

Önemli Noktalar:

  • Ücretsiz olan 65 yaş üstü yolcuların sayısı fazla olsa dahi, bunların gelire katkısı 0 TL olacağından denklemlerdeki gelir kalemine eklenmez.
  • Elde edilen 126 TL yalnızca tam biletli ve öğrenci biletli yolculardan gelmektedir.
  • Sayısal değerlerin tümü tam sayı olmak durumundadır (bir otobüste yarım veya ondalıklı yolcu sayısı düşünülemez).

3. Değişkenlerin Belirlenmesi ve Anlamları

Bu tarz problemlerde en iyi yöntem, anlaşılır değişkenler almaktır. Aşağıdaki gibi üç değişken kullanalım:

  • x: Tam biletli yolcu sayısı
  • y: Öğrenci bileti ile seyahat eden yolcu sayısı
  • z: 65 yaş ve üzeri (ücretsiz bilet) yolcu sayısı

Bu sayede cebirsel denklemler daha temiz ve anlaşılır bir biçimde kurulabilir.

4. Matematiksel Denklemlerin Kurulması

Problemde yer alan açıklamalar doğrultusunda şu ifadeleri çıkarabiliriz:

  1. Öğrenci sayısının (y), tam biletli sayısının (x) 2 katı olması
    $$ y = 2x $$

  2. Öğrenci sayısının (y), 65 yaş üstü sayısının (z) 7 katı olması
    $$ y = 7z $$

  3. Toplam ücret 126 TL

    • Tam bilet: 4 TL
    • Öğrenci bileti: 2,5 TL
    • 65 yaş üstü: 0 TL
      Dolayısıyla ücret denklemimiz:
    4x + 2.5y + 0 \cdot z = 126

Bu üç denklem yardımıyla, elimizde üç bilinmeyeni açıklayacak net bir sistem kurulmuş olur:

  1. y = 2x
  2. y = 7z
  3. 4x + 2.5y = 126

5. Adım Adım Çözüm

5.1. Denklemlerin Birleştirilmesi

Elimizdeki üç denklemi kullanarak, adım adım bilinmeyenleri bulacağız. İlk iki denklem, $y$’yi hem x hem de z cinsinden tanımladığı için, bu ilişkileri kullanarak x ve z arasında bir bağ kurmak mümkündür.

  1. y = 2x
  2. y = 7z

Bu iki denklemden hareketle, 2x = 7z diyebiliriz (her ikisi de $y$’yi ifade ettiğinden). Yani,

2x = 7z

veya

x = \frac{7}{2} z

görülür. Burada, sayılar tam olacağı için $z$’nin 2’nin katı olması gerektiği de sezgisel olarak ortaya çıkar.

5.2. Denklemlerin Çözümü

Üçüncü denklem olan toplam ücret denkleminde (4x + 2.5y = 126), x ve $y$’yi tek bir bilinmeyene indirgemek için ilk iki denklemi kullanacağız.

Önce y = 2x ifadesini alarak, 3. denklemdeki y yerine koyarız:

4x + 2.5(2x) = 126

Bu basit işlemi açarak:

4x + (2.5 \times 2x) = 126
4x + 5x = 126
9x = 126
x = 14

Böylece, tam biletli yolcu sayısı (x) 14 olarak bulunur. Ardından, öğrenci sayısını (y) bulmak için y = 2x denklemini kullanırız:

y = 2 \times 14 = 28

Yani öğrenci yolcu sayısı (y) 28’dir.

5.3. 65 Yaş Üzeri Yolcu Sayısının Bulunması

Şimdi, y = 7z ifadesini hatırlayalım. Burada $y$’yi 28 olarak bulduğumuza göre,

28 = 7z

Buradan z:

z = \frac{28}{7} = 4

elde edilir. Demek ki 65 yaş ve üzeri yolcu sayısı (z) 4’tür.

6. Çözümün Doğrulanması

Pratikte, bu değerleri tekrar orijinal probleme yerleştirerek kontrol edebiliriz:

  • Tam biletli (x): 14 kişi
  • Öğrenci biletli (y): 28 kişi
  • 65 yaş üstü (z): 4 kişi

Gelir Kontrolü:

  • Tam biletli 14 yolcu her biri 4 TL → 14 \times 4 = 56 TL
  • Öğrenci biletli 28 yolcu her biri 2,5 TL → 28 \times 2.5 = 70 TL
  • 65 yaş üstü 4 yolcu her biri ücretsiz → 4 \times 0 = 0 TL

Toplam: 56 + 70 + 0 = 126 TL, ki problemde istenen toplam tutarın aynısıdır. Dolayısıyla yaptığımız hesap doğrulanmıştır.

7. Örnekler ve Alternatif Senaryolar

Alıştırma amacıyla, bilet fiyatlarının veya çarpanların farklı olduğu, sayının tam çıkmayabileceği gibi senaryolar da düşünülebilir.

7.1. Öğrenci ve Tam Biletli Yolcu Sayıları Farklı Olsa

Örneğin, problemde “öğrenci sayısı, tam biletli yolcu sayısının 3 katı” şeklinde bir ifade olsaydı, o zaman benzer şekilde:

  1. y = 3x
  2. y = 7z (varsayım aynı kalsın)
  3. 4x + 2.5y = 126

işlemlerini yaparak yeni değerler bulurduk. Fakat sonuç, 65 yaş üstü yolcu sayısını büyük olasılıkla farklı bir tam sayı yapardı ya da senaryoda “yolcu sayısı tam sayı çıkar mı, çıkmaz mı?” gibi mantık kontrolleri yapmak gerekebilirdi.

7.2. Bilet Fiyatları Değişse

Aynı problemde tam bilet 4 yerine mesela 5 TL, öğrenci 2.5 TL yerine 3 TL olsaydı, yine benzer bir denklem kurgusu olurdu ancak denklemdeki kat sayılar değişirdi:

  1. 4 \longrightarrow 5
  2. 2.5 \longrightarrow 3
  3. 0 \longrightarrow 0 (65 yaş üstü değişmedi)
  4. Toplam ücret 126 TL

Bu tür değişiklikler sonucunda yine üç bilinmeyen ve ilişkiler üzerinden soruya yeni bir çözüm geliştirilebilirdi.

8. Ayrıntılı Konu Anlatımı (Matematiksel Yaklaşımın Özü)

Bu tip problemler, genellikle sistematik cebirsel çözüm yöntemlerini pekiştirmek için kullanılır:

  1. Değişken Seçimi: Her yolcu türüne bir sembolik değişken atamak (ör. x, y, z).
  2. İlişkilerin Belirlenmesi: Metinde sözel olarak ifade edilen “öğrenciler tam biletlinin 2 katı”, “öğrenciler 65 yaş üstünün 7 katı” gibi cümlelerden cebirsel eşitlikleri yazmak.
  3. Ücret Denkleminin Kurulması: Her yolcunun ödediği ücretin, toplam yolcu sayısıyla çarpımı şeklinde toplanması. Burada 65 yaş üstü yolcular 0 TL ödediğinden dolayı denklemde çarpımsal bir ifade yer almıyor.
  4. Denklemlerin Giderilmesi (Eliminasyon/İkame): Adım adım bir denklemdeki değişkeni diğeri cinsinden ifade etmek ve tek denkleme indirgemek.
  5. Elde Edilen Sonuçları Doğrulamak: Bulunan değerleri tekrar ana problemde yerine koyarak sonucun tutarlılığını kontrol etmek.

Bu yapısal yaklaşım, hem matematik derslerinde hem de gerçek hayattaki gelir-gider analizlerinde kullanılır.

9. Sık Yapılan Hatalar ve Çözüm Önerileri

  1. Değişkenlerin Yanlış Tanımlanması

    • Bazen öğrenci sayısı için x, tam biletli için y vb. parametreler kullanılırken, problemdeki cümlelerin yanlış yorumlanması sonucu denklem hatası olur. Bu hatayı önlemek için tanımlanan değişkenleri not almak gerekir.

  2. Oran/Kat Hataları

    • “Öğrenci sayısı tam biletli yolcunun iki katı” ifadesini yanlışlıkla x = 2y ya da benzerine yazmak sık rastlanır. Doğru çeviri: “öğrencilerin sayısı $2 \times (tam biletli sayısı)$” → y = 2x.

  3. Ücret Denkleminde Katsayı Yanlışlığı

    • 2,5 TL yazmak yerine 2.5’in çarpılmasında ondalık hataları veya virgül hataları yapılabilir. Doğru çarpım: 2.5 \times y.

  4. Ücretsiz Kategorinin Dahil Edilmesi

    • 65 yaş ve üstü yolcuların 0 TL ödediğini göz ardı edip 4 veya 2.5 gibi katsayılardan biriyle yanlışlıkla çarpılabilir. Burada 0 TL çarpımının hiçbir şekilde toplam ücreti etkilemediği unutulmamalı.

  5. Tam Sayı Çıkmayan Çözüm Senaryolarında Sonucun Gözden Kaçırılması

    • Her zaman tam sayı çözümler elde edemeyebiliriz. Problem kurgusuna göre, tam sayı olmayan bir sonuç mantıksız olacağı için “çözüm yok” veya “problemde ek bilgi eksik” denebilir. Bu soruda ise gayet güzel bir tam sayı çözüm (4, 14, 28) çıkmaktadır.

10. Özet Tablo ile Değerlerin İncelenmesi

Aşağıdaki tabloda, her yolcu kategorisinin ücret ve sayı ilişkileri gösterilmiştir:

Yolcu Türü Sembol Bilet Ücreti (TL) Denklemdeki Rolü Bulunan Sayı
Tam Biletli x 4 4x 14
Öğrenci Biletli y 2,5 2.5y 28
65 Yaş Üzeri (Ücretsiz) z 0 0 \cdot z (toplam ücreti etkilemez) 4
Toplam Ücret = 126 TL

Tablodan da görüldüğü gibi:

  • Tam biletli (x): 14 kişi
  • Öğrenci biletli (y): 28 kişi
  • 65 yaş üstü (z): 4 kişi

Her kategorinin ücret katsayıları ile çarpmalar yapıldığında, 126 TL elde edilir.

11. Sonuç ve Kısa Özet

  • Denklemler aracılığıyla hesaplama yaptığımızda, tam biletli yolcu sayısı 14, öğrenci sayısı 28, 65 yaş ve üzeri yolcu sayısı ise 4 bulunur.
  • Soru bizden yalnızca 65 yaş ve üzeri yolcu sayısını istediği için cevap: 4 olarak karşımıza çıkar.
  • Yapılan doğrulama da (126 TL’nin sağlanması) bu sonucu destekler.
  • Dolayısıyla, problem metnindeki her bilgi doğru yorumlandığında ve cebirsel işlemler titizlikle uygulandığında sorunun çözümü nettir.

Özetle, 65 yaş ve üzeri yolcuların sayısı 4’tür.

12. Kaynakça veya Referanslar

  • Ortaokul ve Lise Matematik Müfredatı, Denklemler ve Problemler Konu Başlıkları.
  • Herhangi bir matematik ders kitabında “Doğrusal Denklemler ve Uygulamaları” bölümü.
  • Öğrenci Hazırlık Kaynakları (Özellikle 8. sınıf - YGS düzeyi).

@Nazar_Demir