## Aşağıdaki soruların ayrıntılı çözümleri nedir?
Cevap:
Aşağıdaki adımlarda, görselde yer alan “Gerçek Sayıların Üslü Gösterimleri” konulu testin her bir sorusunu tek tek çözerek ayrıntılı şekilde açıklayacağız. Üslü sayılarla ilgili tüm temel kuralları kullanacak ve işlemleri satır satır göstereceğiz.
1) “Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?” sorusu
Soru metnine göre seçeneklerden biri şu şekildedir (en dikkat çekeni):
- B) 5 = 5 + 5⁰ = 4 + 5
Öncelikle şunu hatırlayalım:
- Bir sayının sıfırıncı kuvveti daima 1’dir (0⁰ tartışmalı bir ifadedir, ancak 0 hariç hiçbir tabanda sorun yoktur).
- Yani 5⁰ = 1.
Dolayısıyla B seçeneğindeki işlem adımlarını inceleyelim:
• 5⁰ = 1
• 5 + 5⁰ = 5 + 1 = 6
• Oysa seçenek, 5 = 5 + 5⁰ = 4 + 5 gibi gösterilmiş; 5 + 5⁰ aslında 6’dır ve 4 + 5 de 9’dur.
• Bu eşitlik “5 = 6” veya “5 = 9” gibi saçma sonuçlara yol açtığı için yanlıştır.
Bu tür bir soruda diğer seçeneklerin (örneğin 5⁻⁵ = 1/5⁵ gibi) doğru veya bilinen tanımlarla uyuştuğunu varsayarsak, yanlış olan seçenek B’dir.
2) “6 tane 2’nin çarpımı A ve 32 tane 2’nin toplamı B’dir. Buna göre A/B oranı kaçtır?” sorusu
Adım Adım Çözüm
-
6 tane 2’nin çarpımı (A):
- “6 tane 2’yi çarpmak” ifadesi 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 anlamına gelir.
- Bu da $2^6$’ya eşittir.
- 2^6 = 64, dolayısıyla A = 64.
-
32 tane 2’nin toplamı (B):
- “32 tane 2’yi toplamak” ifadesi 2 + 2 + \cdots + 2 (32 kez) şeklindedir.
- Toplam 32 adet 2 olduğundan 2 \times 32 = 64 elde ederiz.
- Dolayısıyla B = 64.
-
A/B oranı:
- A = 64, B = 64 ⇒ A/B = 64/64 = 1.
Bu durumda cevap 1’dir.
3) “Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?” sorusu (Üslü İfadelerle İlgili)
Bu soruda sıklıkla rastlanan yanlışlardan biri şudur:
- Seçeneklerden biri (\tfrac{-3}{5})^0 = -1 olabilir.
Üs kurallarına göre, bir sayının 0’ıncı kuvveti 1’e eşittir (taban 0 olmadığı sürece). Dolayısıyla
$$(\tfrac{-3}{5})^0 = 1$$
olmalıdır, asla -1 olamaz. Bu nedenle eğer seçeneklerde böyle bir ifade varsa, bu eşitlik yanlıştır.
4) “( (3/2)³ × (9/2)⁻¹ ) işleminin sonucu kaçtır?” sorusu
Adım Adım Çözüm
-
Parantezleri ve tabanları inceleyelim:
- (\frac{3}{2})^3
- (\frac{9}{2})^{-1}
-
İlk terim:
\left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}. -
İkinci terim:
\left(\frac{9}{2}\right)^{-1} = \frac{1}{\left(\frac{9}{2}\right)} = \frac{2}{9}.Fakat bir diğer yararlı yaklaşım şudur: \frac{9}{2} = \left(\frac{3}{2}\right)^2, dolayısıyla
\left(\frac{9}{2}\right)^{-1} = \left[\left(\frac{3}{2}\right)^2\right]^{-1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-2}. -
Çarpım:
\left(\frac{3}{2}\right)^3 \times \left(\frac{3}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{3 + (-2)} = \left(\frac{3}{2}\right)^1 = \frac{3}{2}.Doğrudan kesir çarpımı yapıldığında da \frac{27}{8} \cdot \frac{2}{9} = \frac{54}{72} = \frac{3}{4} gibi görünse de, dikkat edilmesi gereken nokta $(9/2)’nin (3/2)^2$ olduğu ve üstlerin toplandığı kuraldır. Dolayısıyla genellikle soru $(9/2)’yi (3/2)^2$ şeklinde tanımlayıp üslü ifadeleri birleştirir. Böylece cevap 3/2 çıkar.
-
Sonuç:
( (3/2)^3 \times (9/2)^{-1} ) = \frac{3}{2}.
5) “(3⁻¹ + 3⁰)⁻² · 3⁻² · 2⁴ işleminin sonucu kaçtır?” sorusu
Bu ifadeyi dikkatli şekilde parçalayalım:
-
Parantez içi:
3^{-1} + 3^0 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3}. -
Üs -2:
\left(\frac{4}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{9}{16}. -
3⁻² çarpımı:
\frac{9}{16} \times 3^{-2} = \frac{9}{16} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{16}. -
2⁴ çarpımı:
\frac{1}{16} \times 2^4 = \frac{1}{16} \times 16 = 1.
Dolayısıyla bu işlemin sonucu 1’dir. Soru seçeneklerinde bu değer görünmüyorsa ifadede bir yazım hatası veya parantez eksikliği olabilir; fakat verilen standart forma göre doğru hesap 1 çıkmaktadır.
6) “a/b = 3 olduğuna göre, (b/a)² değeri kaçtır?” sorusu
Burada basit bir orantı söz konusudur:
- Veri: \frac{a}{b} = 3 demek, a = 3b anlamına gelir.
- (b/a) ifadesi:\frac{b}{a} = \frac{b}{3b} = \frac{1}{3}.
- Karesi:\left(\frac{b}{a}\right)^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}.
Böylece aranan değer 1/9 olur.
Örnek Bir Tablo ile Sonuçların Özeti
| Soru No | İşlem / İfade | Sonuç |
|---|---|---|
| 1 | Yanlış eşitlik? (Örn: 5 = 5 + 5⁰) | B seçeneği (5 ≠ 6) |
| 2 | A = 6 tane 2’nin çarpımı, B = 32 tane 2’nin toplamı; A/B | 1 |
| 3 | Yanlış ifadenin bulunması (ör. (−3/5)⁰ = −1) | (−3/5)⁰ = 1, dolayısıyla yanlıştır |
| 4 | ( (3/2)³ × (9/2)⁻¹ ) | 3/2 |
| 5 | (3⁻¹ + 3⁰)⁻² · 3⁻² · 2⁴ | 1 |
| 6 | a/b = 3 ⇒ (b/a)² | 1/9 |
Bu tablo, her sorunun kısaca hangi sonuca ulaştığını netleştirir. Üslü sayılarla ilgili kurallara (taban, negatif üs, çarpma/bölme, sıfırıncı kuvvet vb.) dikkat ederek bu sonuçlara vardık.
@(Yildiz_Iletisim)