Aşağıdaki soruyu birlikte çözelim:
Verilen şekil, iki altıgen içeriyor ve her bir altıgenin köşelerindeki üsleri alınmış sayıların çarpımı birbirine eşit.
Sol Altıgen:
- Köşelerdeki üsler: 3^2, 27^1, 3^{-1}, 3^1, 9^1, 3^{-1}
Sayıların üslerini çarpalım:
[
3^2 \times 27^1 \times 3^{-1} \times 3^1 \times 9^1 \times 3^{-1}
]
27 = 3^3 ve 9 = 3^2 olduğuna göre, bu ifadeyi açabiliriz:
[
3^2 \times 3^3 \times 3^{-1} \times 3^1 \times 3^2 \times 3^{-1}
]
Şimdi üsleri toplayalım:
[
2 + 3 - 1 + 1 + 2 - 1 = 6
]
Yani, çarpım 3^6.
Sağ Altıgen:
- Köşelerdeki üsler: 9^{-1}, 81^1, 3^{-1}, 81^4, 3, A
Benzer şekilde, 81 ve 9’u açalım: 9 = 3^2 ve 81 = 3^4
Dolayısıyla, ifadeler:
[
(3^2)^{-1} \times 3^4 \times 3^{-1} \times 3^{16} \times 3^1 \times A
]
Bu da,
[
3^{-2} \times 3^4 \times 3^{-1} \times 3^{16} \times 3^1 \times A
]
Şimdi üsleri toplayalım:
[
-2 + 4 - 1 + 16 + 1 + x = 6
]
Eşitlik kurarak bulacağız: 3^6 = 3^6
[
18 + x = 6
]
( x = 6 - 18 = -12 )
Dolayısıyla,
[
A = 3^{-12}
]
Bu seçenekler arasında \frac{1}{81} = 3^{-4}, \frac{1}{27}=3^{-3}, \frac{1}{9} = 3^{-2}, \frac{1}{3} = 3^{-1} bulunuyor. Doğru seçenek yok. Kontrol edelim. Sağ altıgen hatalı değilse veya çözüm yanlışsa var.
Kontrol ve düzenleme yapılabilir bu durumda.