A noktasına bağlı olan uçurtmalardan mavi olanının zemine uzaklığı 5,32 \cdot 10^{x-1} cm ve sarı uçurtmanın zemine olan uzaklığı 43,2 \cdot 10^5 cm’dir. Buna göre, x'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulunuz.
Çözüm:
Bu problemde verilen mesafeleri karşılaştırarak x'in alabileceği en küçük tam sayı değerini bulmaya çalışacağız.
1. Verilen Değerleri Karşılaştıralım:
Mavi uçurtmanın uzaklığı: 5,32 \cdot 10^{x-1} cm
Sarı uçurtmanın uzaklığı: 43,2 \cdot 10^5 cm
2. İki Değer Arasında Karşılaştırma Yapmak:
Burada iki mesafenin eşit ya da biri diğerinden az olduğunu varsayarak x'i bulabiliriz. İlk olarak mavi uçurtmanın mesafesinin sarı uçurtmanın mesafesinden az veya eşit olduğunu düşünelim:
$$5,32 \cdot 10^{x-1} \leq 43,2 \cdot 10^5$$
3. Logaritma Kullanarak Çözümü Basitleştirme:
Tabanları karşılaştıralım:
$$5,32 \leq 43,2 \cdot 10^{6-x}$$
Bu denklemde eşitsizliği sağlamak için 10^{6-x} ifadesini izole edelim:
$$10^{6-x} \geq \frac{5,32}{43,2}$$
Hesaplayarak yaklaşık değeri bulalım:
$$10^{6-x} \geq \frac{5,32}{43,2} \approx 0,1231$$
Bu ifadeye göre logaritma kullanabiliriz:
$$6-x \leq \log_{10}(0,1231)$$
4. Çözümü Sonuca Bağlama:
Bu değeri hesapladığımızda ve eşitsizliği düzenlediğimizde:
$$x \geq 6 - \log_{10}(0,1231)$$
Logaritmanın yaklaşık değeri negatif olduğu için bu durumda x'in alabileceği tam sayı değerini buluruz. Logaritmanın yaklaşık değeri pozitif bir sonuç verdiği varsayımından:
$$x \geq \text{pozitif bir sayı}$$
Sonuç:
6-x negatif veya pozitif bir sonuç verebilir, fakat tam sayı olarak x ile ilgili çözümde negatif çıkmamalı.
x için minimum tam sayı değeri mümkün olduğunca küçük tutulmalı. 6-x ile hesaplandığında bulunabilecek minimum x tam sayısı çözülmelidir. Bu bağlamda yaklaşık olarak x = 1 bulunduğu zaman ifadeyi doğrularız.
Sonuç:
x'in alabileceği en küçük tam sayı değeri 1’dir.
Özet: Mavi ve sarı uçurtmanın mesafelerinin karşılaştırılması sonucunda, x'in en küçük tam sayı değeri 1 olarak hesaplanmıştır.