İncelenmesi Gereken Matematik Sorusu
Cevap:
Verilen problemde, iki doğru denklemi şöyle verilmiştir:
- (d_1 : y = 6x + a)
- (d_2 : y = 4x + b)
Bu iki doğrunun eksenlerle oluşturduğu üçgensel bölgelerin alanları birbirine eşittir.
Bu durumda doğrunun eksenleri kestiği noktaları belirleyip, üçgen alan formülünü uygulayarak ilerleyelim.
Adım 1: Doğru Denklemleri ve Eksen Kesim Noktaları
(d_1 : y = 6x + a)
- (y)-eksenini kestiği nokta: ( x = 0 ) için (y = a).
- (x)-eksenini kestiği nokta: ( y = 0 ) için (x = -\frac{a}{6}).
(d_2 : y = 4x + b)
- (y)-eksenini kestiği nokta: ( x = 0 ) için (y = b).
- (x)-eksenini kestiği nokta: ( y = 0 ) için (x = -\frac{b}{4}).
Adım 2: Üçgen Alanlarının Hesaplanması
Üçgen alanı, temel matematik formülüyle (taban x yükseklik / 2) hesaplanabilir. Her bir doğrunun oluşturduğu üçgensel bölge şöyle hesaplanır:
Üçgen_1 Alanı:
[
\text{Alan}_1 = \frac{1}{2} \cdot \left| -\frac{a}{6} \right| \cdot |a| = \frac{a^2}{12}
]
Üçgen_2 Alanı:
[
\text{Alan}_2 = \frac{1}{2} \cdot \left| -\frac{b}{4} \right| \cdot |b| = \frac{b^2}{8}
]
Adım 3: Alanların Eşit Olması Koşulu
Verilen koşula göre:
[
\frac{a^2}{12} = \frac{b^2}{8}
]
Bu denklemi sadeleştirelim:
[
8a^2 = 12b^2
]
[
\frac{a^2}{b^2} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}
]
[
\frac{a}{b} = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}
]
Final Cevap:
Verilen seçenekler arasında, ( \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{6}}{2} ) ifadesi doğru cevaptır. Bu nedenle doğru cevap B) (\frac{\sqrt{6}}{2}) seçeneğidir.