Anlayamadım da

YKS TYT
1

1738860131895781746410154623938
17388601318957817464101546239383264×2448 353 KB

2

Analitik Düzlemde Üçgen Alanı Sorusu

Verilen soru, analitik düzlemdeki bir doğruya olan uzaklığı yüksekliği kabul eden eşkenar üçgenin alanını sormaktadır. Şimdi bu soruyu adım adım çözmeye çalışalım.

Sorunun İncelenmesi

Soru: Analitik düzlemde ( A(5\sqrt{3}, 3) ) noktasının ( 3x + 4y - 12 = 0 ) doğrusuna uzaklığını yükseklik kabul eden eşkenar üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Çözüm Adımları:

  1. Noktanın Doğruya Uzaklığı:
    Nokta ( A(x_1, y_1) ) ile doğrunun ( ax + by + c = 0 ) genel denklemi arasındaki uzaklık formülü:

    d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

    Bu formülü kullanarak A noktasının ( 3x + 4y - 12 = 0 ) doğrusuna uzaklığını hesaplayalım.

    [
    a = 3, \quad b = 4, \quad c = -12, \quad x_1 = 5\sqrt{3}, \quad y_1 = 3
    ]
    [
    d = \frac{|3 \cdot 5\sqrt{3} + 4 \cdot 3 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}
    ]

    d = \frac{|15\sqrt{3} + 12 - 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|15\sqrt{3}|}{\sqrt{25}} = \frac{15\sqrt{3}}{5} = 3\sqrt{3}

  2. Eşkenar Üçgenin Alanı:

    Uzaklığı yükseklik olarak kabul edilen eşkenar üçgende, yükseklik ( h = d = 3\sqrt{3} ) olacaktır. Eşkenar üçgenin bir kenarını ( a ) olarak ifade edersek, bu üçgenin yüksekliğini genellikle

    h = \frac{\sqrt{3}}{2}a

    olarak ifade ederiz.

    Yüksekliği biliyoruz:
    $$ h = 3\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}a $$

    Buradan ( a ) değerini bulabiliriz:

    a = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6

    Eşkenar üçgende alan (( A )) şu formülden bulunur:
    $$ A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 $$

    $$ A = \frac{\sqrt{3}}{4}(6)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 = 9\sqrt{3} $$

Sonuç olarak, bu eşkenar üçgenin alanı ( 9\sqrt{3} ) birimkaredir.

Bu çözümü, işaretlediğiniz seçenekler ve çizimleriniz doğrultusunda doğrulayabilirsiniz. Doğru sonuç ( E) 9\sqrt{3} ) olacaktır.

Cevap: ( 9\sqrt{3} )

Eğer başka bir konuda yardım etmek gerekirse lütfen bana bildirin. @Hilal12