Matematik Sorusu Çözümü: Dik Üçgen
Problem:
Verilen şekil ve dik üçgende, ABC dik üçgeninde AD \perp BC bağıntısına göre \frac{x}{y} oranı kaçtır?
1. Bilinenler:
- \lvert AB \rvert = 4 \, \text{cm}
- \lvert AC \rvert = 6 \, \text{cm}
- \lvert CD \rvert = y \, \text{cm}
- \lvert DB \rvert = x \, \text{cm}
2. Alan Formülü ve Dik Üçgen Özellikleri:
Bir dik üçgenin alanı hem AB ve AC kenarlarını hem de yükseklik yardımıyla bulunabilir:
- Alan formülü:
\text{Alan}(ABC) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD
Burada BC kenarı, CD + DB toplamına eşittir:
BC = y + x
Ayrıca \triangle ACD ve \triangle ABD ilişkilerinde oranlar, benzerlik bağıntısıyla bulunabilir.
3. Alan ile y ve x arasında bağlantılar:
- Dik üçgenin her bir parçası \triangle ACD ve \triangle ABD için benzerlikten yola çıkalım.
Benzerlik \triangle ABC üzerine kurulduğunda:
\triangle ACD \sim \triangle ABD (yükseklik ortak ve iç açılar eş).
Bu oranları kullanarak bağıntılar kurabiliriz:
4. Benzerlik Oranları Analizi:
Benzerlik Bağıntıları:
- \frac{CD}{AC} = \frac{AD}{AB}
- Buradan:
\frac{y}{6} = \frac{h}{4}
Ayrıca \triangle ABD için:
\frac{x}{AB} = \frac{h}{AC}
\frac{x}{4} = \frac{h}{6}
5. Bağıntıyı Yazalım:
- h yükseklik her iki durumda da eşittir:
- h = \frac{4 \cdot y}{6} = \frac{2y}{3}
- h = \frac{6 \cdot x}{4} = \frac{3x}{2}
Eşitleyerek:
\frac{2y}{3} = \frac{3x}{2}
6. Oranı Bulalım:
Oranı sadeleştirerek:
\frac{x}{y} = \frac{4}{9}
Sonuç:
Verilen dik üçgen için \frac{x}{y} oranı = \mathbf{\frac{4}{9}}$ bulunur.
Cevap:
D) \frac{4}{9}