Matematik soru coz

YKS TYT
1

1730115766525
17301157665254096×3072 972 KB

2

a! / b! = 72 eşitliğini sağlayan a ve b pozitif tam sayılarının toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?

Bu soruda a! ve b! arasındaki faktöriyel ilişkisine bakarak a ve b sayılarının toplamının en küçük değerini bulmamız gerekiyor.

Çözüm Adımları:

  1. Faktöriyel Tanımı: Faktöriyel, bir pozitif tam sayının kendisinden başlayarak 1’e kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır. Örneğin, 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120.

  2. Faktöriyel Oranı: Soruda verilen a! / b! = 72 oranı, a sayısının b'den daha büyük olduğunu gösterir çünkü a! daha fazla çarpan içerir.

  3. Faktöriyel Açılımı ve Hesaplama:

    \frac{a!}{b!} = \frac{a \times (a-1) \times \cdots \times (b+1)}{1} = 72

    Burada (a, b+1, \ldots, a-1) çarpanlarının 72’yi vermesi gerekiyor.

  4. Örnek Denemeler:

    • a = 8, b = 5 için:

      \frac{8!}{5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{1} = 336

      Görüyoruz ki bu değer, 72’den büyük.

    • a = 9, b = 6 için:

      \frac{9!}{6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{1} = 504

      Bu da 72’den büyük.

    • a = 8, b = 6 için:

      \frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7}{1} = 56

      Bu değer, 72’den küçük.

    • a = 9, b = 7 için:

      \frac{9!}{7!} = \frac{9 \times 8}{1} = 72

      Bu eşitliği sağlıyor.

  5. Sonuç: Eşitliği sağlayan en küçük toplam a + b = 9 + 7 = 16.

Cevap: A) 16

Özet: Sağlanan eşitlik için faktöriyel oranlarını dikkatlice kontrol ederek en küçük değeri bulmamız gerekiyor. Faktöriyel farkından dolayı a'yı daha büyük seçerek, çarpanların 72 yapmasını sağladık. Sonuç olarak a + b = 16 bulundu.