a! / b! = 72 eşitliğini sağlayan a ve b pozitif tam sayılarının toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Bu soruda a! ve b! arasındaki faktöriyel ilişkisine bakarak a ve b sayılarının toplamının en küçük değerini bulmamız gerekiyor.
Çözüm Adımları:
-
Faktöriyel Tanımı: Faktöriyel, bir pozitif tam sayının kendisinden başlayarak 1’e kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır. Örneğin, 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120.
-
Faktöriyel Oranı: Soruda verilen a! / b! = 72 oranı, a sayısının b'den daha büyük olduğunu gösterir çünkü a! daha fazla çarpan içerir.
-
Faktöriyel Açılımı ve Hesaplama:
\frac{a!}{b!} = \frac{a \times (a-1) \times \cdots \times (b+1)}{1} = 72Burada (a, b+1, \ldots, a-1) çarpanlarının 72’yi vermesi gerekiyor.
-
Örnek Denemeler:
-
a = 8
,b = 5
için:\frac{8!}{5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{1} = 336Görüyoruz ki bu değer, 72’den büyük.
-
a = 9
,b = 6
için:\frac{9!}{6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{1} = 504Bu da 72’den büyük.
-
a = 8
,b = 6
için:\frac{8!}{6!} = \frac{8 \times 7}{1} = 56Bu değer, 72’den küçük.
-
a = 9
,b = 7
için:\frac{9!}{7!} = \frac{9 \times 8}{1} = 72Bu eşitliği sağlıyor.
-
-
Sonuç: Eşitliği sağlayan en küçük toplam a + b = 9 + 7 = 16.
Cevap: A) 16
Özet: Sağlanan eşitlik için faktöriyel oranlarını dikkatlice kontrol ederek en küçük değeri bulmamız gerekiyor. Faktöriyel farkından dolayı a'yı daha büyük seçerek, çarpanların 72 yapmasını sağladık. Sonuç olarak a + b = 16 bulundu.