a ve b doğal sayılardır.
73 < b < a < 77
olduğuna göre, a! - b! farkının sondan en çok kaç basamağı sıfırdır?
Cevap:
Bu tür sorularda, faktöriyel ifadelerin sondaki sıfır sayısını belirlemek için sayının içinde kaç tane 10 çarpanı olduğunu belirleriz. Faktöriyel açılımında bir 10 çarpanı oluşturabilmek için her bir 2 ve 5 çarpanı çiftine ihtiyacımız vardır. Ancak 2 çarpanları her zaman 5 çarpanlarından daha fazla olduğundan, toplamda kaç adet 5 çarpanı olduğunu bulmak yeterlidir.
a! - b! ifadesinin sondan kaç sıfır içerdiğini bulmak için, a! ve b!'nin ayrı ayrı tende kaç 5 çarpanı olduğunu hesaplarız ve aralarındaki farkı buluruz.
Faktöriyel ifadesindeki 5 çarpanlarının sayısını bulan formül:
burada köşeli parantezler yerdeğeri (sonsuz) işaretini temsil eder.
Önce a! ve $b!$’yi ele alalım. Şimdi, soruda verilen bilgiye göre 73 < b < a < 77 olduğuna göre, a ve b değerlerini inceleriz:
- Mümkün olan a değerleri: 74, 75, 76
- Mümkün olan b değerleri: 74, 75, 76
Her a ve b için faktöriyelinin 5 çarpan sayıları:
a = 74 için:
- \left[\frac{74}{5}\right] + \left[\frac{74}{25}\right] = 14 + 2 = 16
a = 75 için:
- \left[\frac{75}{5}\right] + \left[\frac{75}{25}\right] = 15 + 3 = 18
a = 76 için:
- \left[\frac{76}{5}\right] + \left[\frac{76}{25}\right] = 15 + 3 = 18
b = 74 için:
- \left[\frac{74}{5}\right] + \left[\frac{74}{25}\right] = 14 + 2 = 16
b = 75 için:
- \left[\frac{75}{5}\right] + \left[\frac{75}{25}\right] = 15 + 3 = 18
b = 76 için:
- \left[\frac{76}{5}\right] + \left[\frac{76}{25}\right] = 15 + 3 = 18
Buna göre:
- a = 76 ve b = 75 seçimiyle a! - b! farkına bakarsak:
- a!'ın (76!) 18 tane 5 çarpanı var.
- b!'ın (75!) 18 tane 5 çarpanı var.
- a! - b! ise ilk basamakları itibarıyla 76 \times 75! - 75 \times 75! = 75!\cdot (76-75) = 75!, bu da geriye sadece 75! bırakır.
- $72!$’in yine 18 tane 5 çarpanı vardır çünkü faktöriyel farkında sadece en küçük çarpan
!kalır, yani 0 sondaki basamak hiç sıfır olmaz.
Dolayısıyla, sondaki sıfır sayısı maksimum olarak 75!'in sondaki sıfır sayısına göre 18 olur.
Doğru cevap: C) 24