Soru: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} kümesinin elemanlarıyla en az iki rakamı aynı olan üç basamaklı kaç değişik sayı yazılabilir?
Cevap:
Bu sorunun çözümünde, en az iki rakamı aynı olan üç basamaklı sayıları hesaplamak için önce tüm üç basamaklı sayıları bulup, ardından tüm rakamları farklı olan üç basamaklı sayıları çıkaracağız.
-
Tüm Üç Basamaklı Sayılar:
-
Üç basamaklı bir sayı için yüzler basamağına 1’den 8’e kadar herhangi bir rakam gelebilir (0 olamaz).
-
Onlar ve birler basamağına ise 0 dahil 8 rakamdan herhangi biri gelebilir.
-
Dolayısıyla, tüm üç basamaklı sayılar:
8 \times 8 \times 8 = 512
-
-
Tüm Rakamları Farklı Olan Üç Basamaklı Sayılar:
-
Yüzler basamağına 8 farklı rakamdan biri (1-8) gelebilir.
-
Onlar basamağına, yüzler basamağında kullanılan rakam hariç 8 rakamdan biri gelebilir.
-
Birler basamağına, yüzler ve onlar basamağında kullanılan rakamlar hariç 7 rakamdan biri gelebilir.
-
Dolayısıyla, tüm rakamları farklı olan üç basamaklı sayılar:
8 \times 8 \times 7 = 448
-
-
En Az İki Rakamı Aynı Olan Üç Basamaklı Sayılar:
-
Tüm üç basamaklı sayılardan, tüm rakamları farklı olan üç basamaklı sayıları çıkararak buluruz.
512 - 448 = 64
-
Ancak burada bir hata yapmış olabiliriz çünkü tüm rakamları farklı olan sayıları hesaplarken yanlış bir yöntem kullanmış olabiliriz. Bu yüzden, doğru çözümü bulmak için daha dikkatli bir analiz yapmalıyız.
En az iki rakamı aynı olan üç basamaklı sayıları doğru hesaplamak için doğru yöntemle ilerleyelim:
-
Tüm Üç Basamaklı Sayılar:
- Yine 8x8x8 = 512
-
Tüm Rakamları Farklı Olan Üç Basamaklı Sayılar:
-
Yüzler basamağı: 8 seçenek (1-8)
-
Onlar basamağı: 7 seçenek (0-8, yüzler basamağı hariç)
-
Birler basamağı: 6 seçenek (0-8, yüzler ve onlar basamağı hariç)
8 \times 7 \times 6 = 336
-
-
En Az İki Rakamı Aynı Olan Üç Basamaklı Sayılar:
-
Tüm üç basamaklı sayılardan, tüm rakamları farklı olan üç basamaklı sayıları çıkararak buluruz.
512 - 336 = 176
-
Dolayısıyla, en az iki rakamı aynı olan üç basamaklı sayıların sayısı \boxed{176} dır.