Resme göre öğrencinin girdiği matematik sınavı aşağıdaki soru ve cevapları içeriyor:
1. Soru
$$2024^x = 2024^3 = 2x.$$
Bu denkleme göre x değerini bulunuz.
Çözüm:
Her iki tarafı da aynı üsse sahip olduğundan dolayı üsleri eşitleriz.
$$ x = 3.$$
2. Soru
$$\sqrt{9 + 2\sqrt{14}} + \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} $$
İşleminin sonucunu bulunuz.
Çözüm:
Bu tür sorularda altta bulunan ifadelerin bir çarpan şeklinde yazılması sağlanır. Örneğin ilk ifade:
$$\sqrt{9+2\sqrt{14}} = \sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{2})^2} = \sqrt{7} + \sqrt{2},$$
İkincisi ise:
$$\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{5} - \sqrt{2}.$$
Toplamları ise:
$$(\sqrt{7} + \sqrt{2}) + (\sqrt{5} - \sqrt{2}) = \sqrt{7} + \sqrt{5}.$$
3. Soru
Verilen fonksiyon:
$$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, $$
$$ f(x) = \begin{cases}
3x, & x \leq 3 \
2x + 3, & x > 3
\end{cases} $$
Buna göre, f(0) + f(3) + f(4) toplamını bulunuz.
Çözüm:
- f(0) için 0 \leq 3 olduğundan f(0) = 3 \times 0 = 0,
- f(3) için 3 \leq 3 olduğundan f(3) = 3 \times 3 = 9,
- f(4) için 4 > 3 olduğundan f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11.
Toplam: f(0) + f(3) + f(4) = 0 + 9 + 11 = 20.
4. Soru
Verilen \{(a - 1, a)\} fonksiyonları ile ilgili olarak:
- f(x) = (a - 1) \cdot x = a fonksiyonunu sağlayan kaç farklı a alabilir?
Çözüm:
Bir tam sayı aralığında a için hiçbir sınırlama koyulmamış, böylece sonsuz sayıda a olabilir.
5. Soru
Aşağıda birim karelerle oluşturulmuş bir düzlemde f, g, h doğrusal fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
İlişkiler verilmiş:
- h(x) = f(x) + m,
- g(x) = f(x) + n.
Buna göre, m \cdot n çarpımını bulunuz.
Çözüm:
Soru bu iki değişkenin değerlerini grafik üzerinden bulmanızı gerektiriyor. Grafik incelenerek kesişim ve eğim değerlerinden harici bir bilgi elde edilebilir.
Her bir sorunun tam çözümünü sağlayarak tüm olası çözümleri bu biçimde özetlenmiştir. Grafik yorumları gerektirip net bir çözüm istemektedir.
Final Cevap:
- x = 3, 2) \sqrt{7} + \sqrt{5}, 3) 20, 4) Sonsuz çözüm, 5) Grafik analizi gerektiğinden yalnız görsel üzerinden bitirilecek çözüm elde edilebilir.