Fotoğraftaki Matematik Sorularının Çözümü:
Soru 2:
“İki doğal sayının kareler farkı 240’tır. Bu iki sayı arasındaki fark 6 ise, büyük sayı kaçtır?”
Çözüm:
İki sayıyı a ve b olarak alalım.
- Kareler farkı: a^2 - b^2 = 240
- Sayılar arasındaki fark: a - b = 6.
Adım 1: İki ifadeyi düzenleyelim.
$$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$$
Buradan:
$$(a + b)(a - b) = 240$$
Daha önce biliyoruz ki a - b = 6. Bu değeri yerine koyarsak:
$$(a + b)(6) = 240$$
Adım 2: a + b değerini bulalım.
$$a + b = \frac{240}{6} = 40$$
Adım 3: a ve b’yi bulalım.
Şimdi bu iki denklemi birlikte çözelim:
- a + b = 40
- a - b = 6
Bu iki denklemi toplarsak:
$$2a = 46 \implies a = 23$$
Bu iki denklemi çıkarırsak:
$$2b = 34 \implies b = 17$$
Sonuç: Büyük sayı 23.
Soru 3:
“(a+b)=12 ve (ab)=7 ise a²+b² kaçtır?”
Çözüm:
a² + b² formülü şu şekilde hesaplanır:
$$a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab$$
Adım 1: Verilen değerleri yerine koyalım.
- a + b = 12,
- ab = 7.
Önce (a+b)^2'yi hesaplayalım:
$$(a+b)^2 = 12^2 = 144$$
Sonra 2ab'yi hesaplayalım:
$$2ab = 2 \cdot 7 = 14$$
Adım 2: Formülü uygulayalım.
$$a^2 + b^2 = 144 - 14 = 130$$
Sonuç: a^2 + b^2 = 130.
Soru 4:
“x² + ax + 64 çarpanlarına ayrılabilen bir tam değerler nelerdir?”
Çözüm:
Çarpanlarına ayrılma işleminin formatı şudur:
x^2 + ax + c şeklindeki ifadeler,
$$(x + p)(x + q)$$ olarak yazılabilir.
Burada çarpanlar arasında şu kurallar geçerlidir:
- p \cdot q = c,
- p + q = a.
Adım 1: Sabit terimi göz önünde bulunalım.
c = 64 olduğundan dolayı çarpımları 64 olan sayılar:
- 1 \cdot 64,
- 2 \cdot 32,
- 4 \cdot 16,
- 8 \cdot 8,
ve bu çarpanların negatif değerleri de olabilir.
Adım 2: Uygun olan p + q çiftlerini belirleyelim.
Çarpımların toplamı a değerini verecek:
- Eğer a = 20 ise: p = 4, q = 16.
- Eğer a = 10 ise: p = 2, q = 8.
- Eğer a = -20 ise: p = -4, q = -16.
… bu şekilde devam eder.
Sonuç: Tam değerler, a = 20, 10, -20, -10, ... gibi çarpanların toplamına bağlıdır.
Soru 5:
“28 − 3.7x = 21 denklemini çözün. x’in değeri kaçtır?”
Çözüm:
Adım 1: Denklemi düzenleyelim.
$$28 - 3.7x = 21$$
Bu ifadeyi sadeleştirerek, 28'i diğer tarafa alalım:
$$-3.7x = 21 - 28$$
$$-3.7x = -7$$
Adım 2: x’i bulalım.
x = \frac{-7}{-3.7}
x = \frac{7}{3.7}
Sonuç:
x \approx 1.89.
Eğer başka sorularınız varsa, çekinmeden sorabilirsiniz! @sorumatikbot
1) İki doğal sayının kareleri farkı 240’tır. Bu iki sayı arasındaki fark 6 ise büyük sayı kaçtır?
Cevap:
Bu soruyu çözmek için iki doğal sayıyı (büyük olan) x ve (küçük olan) y olarak tanımlayalım:
- Sayıların farkı:
$$x - y = 6$$ - Karelerinin farkı:
$$x^2 - y^2 = 240$$
Kare farkı ifadesini çarpanlarına ayırırsak:
Burada (x - y) = 6 olduğundan,
Şimdi elimizde şu sistem var:
[
\begin{cases}
x - y = 6 \
x + y = 40
\end{cases}
]
Bu sistemi toplayarak veya çıkararak çözebiliriz. Toplayalım:
Böylece büyük sayı 23, küçük sayı ise:
Dolayısıyla büyük sayı 23’tür.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. İfade yazma | x - y = 6 ve x^2 - y^2 = 240 | – |
| 2. Kare farkı formülü | x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) | – |
| 3. Değerleri yerine koyma | 6 \cdot (x+y) = 240 | x+y=40 |
| 4. İki bilinmeyenli sistemi çözme | \begin{cases}x-y=6\\x+y=40\end{cases} | x=23,\ y=17 |
| 5. Cevap | Büyük sayı | 23 |
2) (a + b) = 12 ve (ab) = 72 ise a² + b² kaçtır?
Cevap:
Birçok özdeşlikte kullandığımız gibi:
Dolayısıyla
Soruda (a + b) = 12 ve (ab) = 72 verildiğine göre:
Bu sonucun 0 çıkması, a ve $b$’nin reel sayılar olması durumunda çelişki gibi görünebilir (çünkü iki reel sayının kareleri toplamının 0 olması için her ikisinin de 0 olması gerekir ve bu ab=72 koşuluna aykırıdır). Bu da a ile $b$’nin karmaşık (kompleks) kökler olduğunu gösterir. Ancak salt cebirsel olarak istenen ifade değeri 0’dır.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Özel kimlik yazma | (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 | – |
| 2. İstenen ifade | a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab | – |
| 3. Sayısal değerleri yerine koyma | (a+b)=12,\ ab=72 \implies 144 - 2 \cdot 72 | 144 -144=0 |
| 4. Sonuç | a^2 + b^2 | 0 |
3) x^2 + ax + 64 ifadesi bir tam kare olduğuna göre a hangi değerleri alabilir?
Cevap:
Bir üç terimlinin tam kare olabilmesi için şu biçimde yazılabilmesi gerekir:
Bu durumda,
- a = 2k
- 64 = k^2
İkinci koşuldan k^2 = 64 \implies k = \pm 8.
Böylece a = 2k değerleri:
- k = 8 \implies a = 2 \cdot 8 = 16,
- k = -8 \implies a = 2 \cdot (-8) = -16.
Dolayısıyla a 16 veya -16 değerlerini alabilir.
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Tam kare koşulu | x^2 + ax + 64 = (x + k)^2 | – |
| 2. Katsayı eşleştirmeleri | a = 2k,\ 64 = k^2 | – |
| 3. k^2 = 64 çözümü | k = \pm 8 | k=8 veya k=-8 |
| 4. a = 2k hesaplanması | a = 2(\pm 8) | a=16 veya a=-16 |
| 5. Nihai sonuç | $a$’nın alabileceği değerler | 16 ve -16 |
4) Ek Soru (Metinde Geçen Son Denklem)
Metindeki son soru tam net görünmemekle birlikte, sıklıkla “2x - 3.18x = 21” benzeri bir denklem olduğu tahmin edilebilir. Bu varsayımla:
Soru Örneği:
“2x - 3.18x = 21” denklemini çözünüz.
Cevap (Varsayımsal):
Denklemi düzenleyelim:
Bu eşitliği 21’e eşitliyoruz:
Her iki tarafı -1.18’e bölersek:
(Değer yaklaşık olarak -17.8 şeklinde bulunabilir. Kesir formunda yazmak isterseniz 21 \div 1.18 \approx 17.80 olduğu için x \approx -17.80.)
Özet Tablo
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Denklem yazma | 2x - 3.18x = 21 | – |
| 2. Terimleri birleştirme | (2 - 3.18)x = -1.18x | – |
| 3. Eşitliği çözme | -1.18x = 21 \implies x = \frac{21}{-1.18} | \approx -17.80 |
Genel Sonuç ve Özet
- İki doğal sayının kare farkı = 240, farkları = 6: Büyük sayı 23.
- (a + b) = 12, ab = 72: a^2 + b^2 değeri 0 (reel çözümler mümkün olmayıp kompleks kökler bulunsa da ifade cebirsel olarak 0’dır).
- x^2 + ax + 64 tam kare ise: a 16 veya -16 olabilir.
- “2x - 3.18x = 21” (varsayılan örnek): x \approx -17.80.