Matematik proje performans ödevi

@sorumatikbot

Fonksiyonun Değerleri Nasıl Bulunur?

Verilen fonksiyon: f(x) = 5x

Bu fonksiyon, her bir x değeri için 5 ile çarpılarak f(x) değerini verir. Şimdi verilen x değerlerini yerine koyarak f(x) değerlerini bulalım.

  1. f(1):
    [
    f(1) = 5 \times 1 = 5
    ]

  2. f(0):
    [
    f(0) = 5 \times 0 = 0
    ]

  3. f(3):
    [
    f(3) = 5 \times 3 = 15
    ]

  4. f(-2):
    [
    f(-2) = 5 \times (-2) = -10
    ]

  5. f(-5):
    [
    f(-5) = 5 \times (-5) = -25
    ]

  6. f(7):
    [
    f(7) = 5 \times 7 = 35
    ]

Bu şekilde, her bir x değeri için f(x) fonksiyonunu hesaplamış olduk. Başka yardımcı olabileceğim bir şey var mı?

Yeni Fonksiyonun Değerleri Nasıl Bulunur?

Verilen fonksiyon: f(x) = \frac{x}{4}

Bu fonksiyon, her bir x değeri için x'i 4’e bölerek f(x) değerini verir. Şimdi verilen x değerlerini yerine koyarak f(x) değerlerini bulalım.

  1. f(0):
    [
    f(0) = \frac{0}{4} = 0
    ]

  2. f(3):
    [
    f(3) = \frac{3}{4} = 0.75
    ]

  3. f(12):
    [
    f(12) = \frac{12}{4} = 3
    ]

  4. f(-2):
    [
    f(-2) = \frac{-2}{4} = -0.5
    ]

  5. f(-6):
    [
    f(-6) = \frac{-6}{4} = -1.5
    ]

  6. f(-4):
    [
    f(-4) = \frac{-4}{4} = -1
    ]

  7. f(-24):
    f(-24) = \frac{-24}{4} = -6

Her bir x değeri için f(x) değerlerini hesapladık. Başka bir konuda yardıma ihtiyacın var mı?

Yeni Fonksiyonun Değerleri Nasıl Bulunur?

Verilen fonksiyon: f(x) = -4x

Bu fonksiyon, her bir x değeri için x ile -4’ü çarparak f(x) değerini verir. Şimdi verilen x değerlerini yerine koyarak f(x) değerlerini bulalım.

  1. f(0):
    [
    f(0) = -4 \times 0 = 0
    ]

  2. f(3):
    [
    f(3) = -4 \times 3 = -12
    ]

  3. f(-3):
    [
    f(-3) = -4 \times (-3) = 12
    ]

  4. f(4):
    [
    f(4) = -4 \times 4 = -16
    ]

  5. f(5):
    [
    f(5) = -4 \times 5 = -20
    ]

  6. f(-7):
    [
    f(-7) = -4 \times (-7) = 28
    ]

Bu hesaplamalarla her bir x değeri için f(x) değerlerini bulmuş olduk. Başka bir konuda yardımcı olabilir miyim?

Fonksiyonun Değerlerinin Hesaplanması

Verilen fonksiyon: f(x) = \frac{-3x}{4}

Bu fonksiyon, her bir x değeri için x ile -3’ü çarpıp 4’e bölerek f(x) değerini verir. Şimdi verilen x değerlerini yerine koyarak f(x) değerlerini bulalım.

  1. f(0):
    [
    f(0) = \frac{-3 \times 0}{4} = 0
    ]

  2. f(-1):
    [
    f(-1) = \frac{-3 \times (-1)}{4} = \frac{3}{4}
    ]

  3. f(-2):
    [
    f(-2) = \frac{-3 \times (-2)}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}
    ]

  4. f(-4):
    [
    f(-4) = \frac{-3 \times (-4)}{4} = 3
    ]

  5. f(4):
    [
    f(4) = \frac{-3 \times 4}{4} = -3
    ]

  6. f(2):
    [
    f(2) = \frac{-3 \times 2}{4} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}
    ]

  7. f(1):
    [
    f(1) = \frac{-3 \times 1}{4} = -\frac{3}{4}
    ]

  8. f(3):
    [
    f(3) = \frac{-3 \times 3}{4} = -\frac{9}{4}
    ]

Her bir x değeri için f(x) değerlerini bulmuş olduk. Başka bir konuda yardımcı olabilir miyim?

Fonksiyonun Analizi: ( f(x) = 5x )

  1. Fonksiyonun Grafiği:

    Fonksiyon ( f(x) = 5x ) bir doğrudur. Bu doğru, orijinden geçen (0,0) bir doğru olup y = 5x doğrusu ile tüm x değerlerine karşılık y değerlerinin 5 katı olduğunu gösterir.

  2. Fonksiyonun Eğimi:

    ( f(x) = 5x ) fonksiyonunda eğim, x’in katsayısıdır. Dolayısıyla eğim 5’tir. Bu, doğru boyunca ilerlerken x’in 1 birim artışına karşılık y’nin 5 birim arttığı anlamına gelir.

  3. Fonksiyonun Sıfırı:

    Fonksiyonun sıfırını bulmak için ( f(x) = 0 ) olduğu durumları bulmalıyız.
    $$ 5x = 0 $$
    Buradan ( x = 0 ) olur. Bu, fonksiyonun y eksenini kestiği noktadır.

  4. Fonksiyonun y Eksenini Kestiği Nokta:

    Daha önce bulunduğu gibi, ( x = 0 ) olduğunda ( f(x) = 0 ). Yani fonksiyon y eksenini (0,0) noktasında keser.

  5. Fonksiyonun Negatif ve Pozitif Değer Aldığı Aralıklar:

    • Fonksiyon pozitif olacağı aralık: x > 0. Bu aralıkta ( f(x) ) pozitif değerler alır çünkü her pozitif x için 5 ile çarpıldığında sonuç pozitif olur.

    • Fonksiyon negatif olacağı aralık: x < 0. Bu aralıkta ( f(x) ) negatif değerler alır çünkü her negatif x için 5 ile çarpıldığında sonuç negatif olur.

Özetle, ( f(x) = 5x ) doğrusu orijinden geçen, x eksenine doğru 5 birim eğimli bir doğrudur, sadece ( x = 0 ) noktasında sıfırdır, ve bu nokta y eksenini kestiği noktadır. Pozitif x değerlerinde pozitif, negatif x değerlerinde ise negatif değerlere sahip olur. Başka bir konuda yardımcı olabilir miyim?

Araçların Zamanla Değişen Hızlarının İncelenmesi

A ve B araçlarının hızları, zamana göre verilen iki fonksiyonla tanımlanmıştır:

  1. A Aracının Hızı (f fonksiyonu):
    [
    f(x) = \frac{x}{3}
    ]

    • Bu fonksiyon, x zamanında A aracının hızını verir.
    • Hız, zamanla doğru orantılı artmaktadır. Her 3 saniyede hız 1 m/s artar.
  2. B Aracının Hızı (g fonksiyonu):
    [
    g(x) = 3x
    ]

    • Bu fonksiyon, x zamanında B aracının hızını verir.
    • Hız, zamanla hızlı bir şekilde artar. Her saniyede hız 3 m/s artar.

Hızların Zamanla İlişkisi:

  • A aracının hızı, zamanla yavaş bir şekilde artarken, B aracının hızı çok daha hızlı bir şekilde artmaktadır.
  • Başlangıçta, A aracı daha düşük hızlanırken, B aracı daha hızlı hızlanma göstermektedir.

Her iki fonksiyonun eğimleri farklı olduğu için, zaman ilerledikçe B aracı A aracına göre daha hızlı bir şekilde hızlanmaktadır.

Örneğin:

  • x = 3 saniyede, f(3) = 1 ve g(3) = 9 olur.
  • x = 10 saniyede, f(10) = \frac{10}{3} = 3.33 ve g(10) = 30 olur.

Bu, B aracının hızının zamana göre daha hızlı arttığını gösterir. Başka bir konuda yardımcı olabilir miyim?

Grafiklerin Eğimi ile Hızlar Arasındaki İlişki

c) A ve B araçlarının hızları, zamana bağlı olarak verilen fonksiyonların eğimi ile doğrudan ilişkilidir. Fonksiyonun eğimi, hızlanmanın ne kadar hızlı gerçekleştiğini ifade eder. Fonksiyonlardaki eğim şu şekildedir:

  • A Aracının Fonksiyonu (f(x) = \frac{x}{3}):

    • Eğimi: \frac{1}{3}
    • Bu, A aracının hızının zamana bağlı olarak her birim artışta hızının \frac{1}{3} m/sn arttığını gösterir. Yani A aracı, daha yavaş bir hızlanma ile hareket etmektedir.
  • B Aracının Fonksiyonu (g(x) = 3x):

    • Eğimi: 3
    • Bu, B aracının hızının zamana bağlı olarak her birim artışta hızının 3 m/sn arttığını ifade eder. B aracı, daha hızlı bir hızlanmayla hareket eder.

Grafiklerde, eğim ne kadar büyükse, o kadar hızlı hızlanma gerçekleşir. Dolayısıyla, B aracının eğimi, A aracının eğiminden daha büyük olduğundan, B aracı A aracına göre daha hızlı hızlanmaktadır.

f ve g Fonksiyonlarının Maksimum ve Minimum Değerleri ile Araçların Hızları Arasındaki İlişki

ç) Verilen zaman aralığı olan [0, 30] için fonksiyonların maksimum ve minimum değerleri şöyle incelenebilir:

  • A Aracının Fonksiyonu (f(x) = \frac{x}{3}):

    • Minimum: f(0) = 0 m/sn (0 saniyede başlangıç hızı)
    • Maksimum: f(30) = \frac{30}{3} = 10 m/sn (30 saniyede ulaşılabilecek maksimum hız)
  • B Aracının Fonksiyonu (g(x) = 3x):

    • Minimum: g(0) = 0 m/sn (0 saniyede başlangıç hızı)
    • Maksimum: g(30) = 3 \times 30 = 90 m/sn (30 saniyede ulaşılabilecek maksimum hız)

Bu değerler, herhangi bir araç için belirli bir zaman aralığında ulaşılabilecek hızların sınırlarını gösterir. B aracı, A aracına kıyasla daha hızlı bir hızlanma sahip olduğundan, maksimum hız değeri daha yüksektir.

Grafiklerin eğimi ve fonksiyonun maksimum-minimum değerleri, araçların hızlarının zamana bağlı davranışını açıkça ortaya koyar. B aracı, hem daha hızlı hızlanır hem de daha yüksek bir maksimum hıza ulaşabilir.

Başka bir konuda yardımcı olabilir miyim?

A ve B Araçlarının Zamanla Değişen Hızlarının İncelenmesi

A ve B araçlarının hızları, zamana göre verilen fonksiyonlarla ifade edilmiştir:

  1. A Aracının Hızı (f fonksiyonu):
    [
    f(x) = \frac{x}{2}
    ]

    • Bu fonksiyon, x zamanında A aracının hızını verir.
    • Hız, zamanla doğru orantılı artmaktadır. Her 2 saniyede hız 1 m/s artar.
  2. B Aracının Hızı (g fonksiyonu):
    [
    g(x) = 4x
    ]

    • Bu fonksiyon, x zamanında B aracının hızını verir.
    • Hız, zamanla daha hızlı bir şekilde artar. Her saniyede hız 4 m/s artar.

Hızların Zamanla İlişkisi:

  • A aracının hızı, zamanla daha yavaş bir şekilde artarken, B aracının hızı çok daha hızlı artmaktadır.
  • İlk andan itibaren B aracı, A aracına kıyasla daha büyük bir hızla hızlanmaya başlar.

Örnek hız hesaplamaları yapmak gerekirse:

  • x = 3 saniyede,
    • f(3) = \frac{3}{2} = 1.5 m/s
    • g(3) = 4 \times 3 = 12 m/s olur.
  • x = 10 saniyede,
    • f(10) = \frac{10}{2} = 5 m/s
    • g(10) = 4 \times 10 = 40 m/s olur.

Bu hesaplamalar, B aracının hızının zamana göre çok daha hızlı bir artış gösterdiğinin bir göstergesidir.

Başlangıçtan itibaren B aracının hızlanması, A aracının hızlanmasından önemli ölçüde daha büyüktür. Hem grafiksel hem de matematiksel olarak bu durum net bir şekilde görülebilir.

Başka bir konuda yardımcı olabilir miyim?

f(x) = x Fonksiyonu için Değerlerin Hesaplanması

Verilen fonksiyon ( f(x) = x ) için, belirli değerlerdeki sonuçları inceleyelim:

  1. x = -4 için:
    [
    f(-4) = -4
    ]
    Burada, x değeri -4 iken fonksiyonun çıktısı da -4’tür. Bu, grafikte (x, y) noktasının (-4, -4) olduğunu gösterir.

  2. x = 10 için:
    [
    f(10) = 10
    ]
    Burada, x değeri 10 iken fonksiyonun çıktısı da 10’dur. Grafikteki nokta (10, 10)'dur.

  3. x = 15 için:
    [
    f(15) = 15
    ]
    x değeri 15 olduğunda fonksiyonun çıktısı 15 olur. Bu, (15, 15) noktasını ifade eder.

  4. x = -17 için:
    [
    f(-17) = -17
    ]
    x değeri -17 iken fonksiyonun sonucu da -17 olur. Bu durumda grafikteki nokta (-17, -17)'dir.

  5. x = 25 için:
    [
    f(25) = 25
    ]
    Burada, x değeri 25 olduğunda fonksiyonun çıktısı 25 olur. Bu da grafikte (25, 25) noktasını işaret eder.

Bu tür bir fonksiyon, basit bir doğrusal fonksiyondur ve grafiği y = x doğrusunu temsil eder. Her bir x değeri için y değeri aynı olduğundan y = x grafiğinde (x, y) şeklinde bir doğrusal eğilim gösterir.

Başka bir konuda yardımcı olmamı ister misiniz?