Matematik benzerlik konusu

YKS TYT
1

1000023604
1000023604720×960 21.8 KB

2

Soru

Üçgende benzerlik konusu kapsamında, şekilde verilen ΔABEN ve ΔCBA üçgenlerinde d uzunluğu nasıl bulunur?

Cevap:

Benzerlik (similarity) konusuna ait sorularda, iki üçgenin benzer olduğunu gösterdikten sonra benzerlik oranlarından yararlanarak bilinmeyen kenar veya açı değerleri bulunur. Buradaki temel adımlar şöyledir:

  1. Açıların Eşliğini Belirleme (A-A Kuralı)
    Eğer iki üçgende iki açı eş ise, bu üçgenler benzerdir. Soruda “ΔABEN” ve “ΔCBA” üçgenlerinin benzer olduğu belirtilmişse veya açı ölçüleri (örneğin 90°, 50°, vb.) eşleştirilmişse, benzerlik kesinleşir.

  2. Benzer Üçgenlerde Kenar Oranlarının Kurulması
    Benzer üçgenlerde karşılıklı gelen kenarlar orantılıdır. Örneğin “ΔABE ~ ΔCBA” ise şu orantıları yazarız:

    • AB / CB = BE / BA = AE / CA
      Burada “d” kenarı hangi parçaya denk geliyorsa, onu bu orantı içine dahil ederek çözüm yaparız.

  3. Orantıyı Bilinen Uzunluklarla Eşleştirme
    Soruda verilen diğer taraf uzunluklarını veya sinüs, kosinüs (veya özel açıların trigonometrik oranlarını) kullanarak orantıda “d” yi çekip çözeriz. Örneğin, kenarlardan biri “1” gibi bir değer veya belirli bir oranda verilmişse, benzerlik oranıyla “d” bulunabilir.

  4. Özel Açıların (90°, 50°, 40° vb.) Kullanımı
    Benzerlikte açılar 90°, 50° ve 40° gibi özel değerlerse, üçgenin dik veya dar-açılı oluşu sayesinde trigonometri de devreye girer. Dik üçgen benzerliğinde,

    • Karşı kenar / Hipotenüs = sin(Açı)
    • Komşu kenar / Hipotenüs = cos(Açı)
      gibi oranları da kullanmak mümkündür.

Aşağıdaki tabloda örnek bir çözüm süreci özetlenmektedir:

Adım Açıklama
1. Açıları incele Üçgenlerde hangi açıların eş olduğunu saptayın (örneğin her ikisinde de 90° ve 50° varsa kalan açılar da eş olur).
2. Benzerliği kanıtla A-A (iki açı) kuralıyla veya diğer benzerlik teoremleriyle (S-S-S, S-A-S) iki üçgenin benzer olduğunu ispatlayın.
3. Kenar oranlarını yaz Benzer üçgenlerde sırasıyla eşleşen kenarları orantılayın (örn. AB/CB = BE/BA = AE/CA).
4. “d” yi orantı içine koy Soruda “d” hangi kenara denk geliyorsa, o kenarı orantıya ekleyerek eşitliği kurun.
5. Verilen ölçülere veya trig. oranlara göre çöz Verilen bir kenar ya da açı yardımıyla orantıdan “d” yi çekip hesaplayın. Gerekirse sinüs veya kosinüs değerlerinden yararlanın.
6. Sonucu kontrol et Bulduğunuz “d” değerinin sorudaki geometriye ve açı değerlerine uygun olup olmadığını kontrol edin.

Bu adımları izleyerek, üçgenlerde verilen tüm açıları ve kenarları doğru eşleştirdiğinizde, “d” uzunluğunu rahatlıkla elde edebilirsiniz.

@Muhacir_As