Bu alıştırmalar, çoğunlukla geometri konularını içeren, çeşitli üçgenler ve doğrular üzerinden problemlerin çözümünü gerektiriyor. Aşağıda bu problemleri sırayla açıklayıp çözmeye çalışalım.
1. İki cetvel ile oluşturulan üçgen (cetvellerin açılarının belirlenmesi)
Cetvellerin birleştirildiği şekilde bir üçgen oluşturulmuş. Burada hedef, doğru açılar belirleyerek istenilen bir üçgene benzer bir yapı elde etmektir.
Bir üçgenin benzer olup olmadığını anlamak için açılarını ve kenar uzunlukları arasındaki oranları karşılaştırırız.
- Benzerlik Kuralı:
Eğer iki üçgenin iç açıları aynı ise ve kenar uzunluklarının oranı sabit ise, bu üçgenler benzerdir.
Bu problemde cetvellerin birleştirilme noktalarında oluşturulan açıların hangi değerlere ayarlanmasının gerektiğini belirlemeliyiz:
- Örneğin:
- 60° - 60° - 60° gibi açılar ayarlandığında eşkenar üçgen elde edilir.
- Bunun bir çıkış noktası olarak düşünülebileceğini belirtebiliriz.
2. KLM üçgeni ile ilgili kenar uzunlukları ve oranlar
Burada şekilde \overline{KL}, \overline{LM}, \overline{KM} kenarları verilmiş. Uzunluklardan bir çıkarım yapılarak kenar uzunlukları oranlarını bulmamız isteniyor:
Örneğin:
\frac{\overline{KL}}{\overline{LM}} = \frac{\overline{KM}}{...}
Bu oranlara bağlı olarak bir benzerlik gösterimi yapılabilir.
Bir üçgende kenar uzunlukları oranları ve açı açı ölçüleri arasındaki ilişkilere dayanılarak geometrik yorum yaparız (Benzerlik ya da eşlik ilişkileri).
3. ABC ve DCE üçgeni arasında kenar uzunluklarını yorumlama
Bu verilen şekilde, bir ortak kenar üzerine oturtulmuş iki ayrı üçgen bulunmaktadır:
AB = 1 birim, BC = 1 birim, AC = √2.
DE = √2.
Bu üçgenlerde kenar uzunlukları kullanılarak üçgenlerin açılarını ve benzerliklerini kontrol edebiliriz:
Çözüm:
- AB ve BC kenarları, birim uzunluklar itibariyle eşit görünüyor.
- Hipotenüs uzunluğu (AC) ise, $1 birimlik iki kenarın birleştikten sonra formül gereği hipotenüs uzunluğu verir:
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
Bu, bir 90°lik dik üçgen ve onun özellikleri için örnek olacaktır.
4. Merdiven probleminin çözümü
Merdiven duvara yaslanmıştır ve toplamda 15 basamaktan oluşmaktadır. 7. basamakta duran bir kişinin yüksekliğini bulmamız isteniyor.
Merdiven geometrisi:
Merdiven bir dik üçgen oluşturuyor:
- Duvarın olduğu kısım dikey yükseklik,
- Zemin ise yatay uzunluk,
- Merdiven kendisi ise hipotenüs olarak kabul edilir.
Eğer merdivenin eğim açısı veya zemin uzunluğu verilmiş ise, trigonometri kullanılarak \sin, \cos, ve \tan (sinüs, kosinüs, tanjant) yardımı ile yükseklik hesaplanır.
Çözüm:
Varsayalım:
- Merdivenin toplam uzunluğu 15 metre.
- Zemin ile yaptığı açının 30° olduğunu kabul edelim.
Bu durumda merdiven formülü:
Yükseklik (h) = merdiven \cdot \sin(\theta)
Ve aynı şekilde, 7. basamak yüksekliği için oranlar belirlenerek hesaplanabilir.
5. ABC Üçgeni - Açılar ve Benzerlik
Soruda verilen şartlar:
- AD = 3 birim, BC = 12 birim.
Sorunun çözümü için, verilen uzunluklar yardımıyla açıların yerleştirilmesi ve geometrik oranların bulunması gerekir. Uzunlukları doğrular üzerinde yerleştirerek üçgenin tamamı çizilir:
Çözüm:
- Eğer üçgenin açıları belirlenmiş ise, benzerlik oranları şu şekilde yazılır:
\triangle ABC \sim \triangle DEF
Benzerlik oranlarında:
\frac{\text{Kenar uzunluğu}}{\text{Kenar uzunluğu}} = Sabit oran.
Bu işlem yapılarak verilmiş kenar ayrıntılarından çıkarımlar yapılır.
Özet Tablosu - Çözümler ve Yöntemler
| Soru | Yöntem | Anahtar Kavram |
|---|---|---|
| Cetvellerin üçgeni | Açıları doğru ayarlama, benzerlik kuralları | Kenar ve açı oranları |
| KLM Üçgeni | Kenar uzunluklarının oranlarını kullanarak benzerlik bulma | Benzerlik |
| ABC-DCE Üçgenleri | Dik üçgen özellikleri, hipotenüs ve kenar uzunlukları | Pisagor Teoremi |
| Merdiven Problemi | Trigonometri ile \sin, \cos, \tan açı oranlarını kullanarak yükseklik hesabı | Dik üçgen |
| ABC Üçgeni | Benzerlik ve oranlar | Geometri |
Eğer herhangi bir noktayı detaylandırmamı istersen, problemi daha ayrıntılı çözebilirim. 
@fadime_tiras
çözümlerini ver
Aşağıda soruların detaylı çözümlerini adım adım sunuyorum. Her sorunun açıklamasını ve çözümünü, görsellerdeki şekillerden yola çıkarak netlik sağlayacak şekilde oluşturacağım.
1. Cetveller ile oluşturulan üçgen
Birinci soruda iki cetvel, uç noktalarından birleştirilerek bir üçgen oluşturuluyor. Hangi açıların ayarlanması gerektiğini ve bu açıların bir doğru üçgen oluşturup oluşturmadığını kontrol edeceğiz.
Çözüm:
Cetvellerden oluşan üçgende toplamda üç açı olacak:
- Birbirine bağlı cetveller arasındaki açı (örneğin A açısı).
- Yatay cetvelle oluşturulan açı (örneğin B açısı).
- Diğer cetvelle oluşturulan açı (örneğin C açısı).
Bilindiği üzere bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olmak zorundadır.
Şimdi bu açıları şu şekilde ayarlayabiliriz:
- Eşkenar üçgen: Eğer üçgen bir eşkenar üçgen olacaksa, her açı 60° olur ve cetvellerin açıları bu şekilde ayarlanır.
- Dik üçgen: Eğer üçgen dik üçgen olacaksa, bir açı 90°, diğer iki açı ise toplamda 90° (örneğin 45° + 45°) olur.
Bu açıların ayarlanması ile doğru bir üçgen elde edilir.
2. KLM Üçgeni ve Kenar Oranları
Sorunun çözümü için, KLM üçgeninde kenar oranlarını kullanarak üçgenin benzerlik ilişkisinden yola çıkacağız. Şekilde verilmiş kenar uzunlukları (örneğin KL, LM, ve KM) üstünden çıkarım yapabiliriz.
Çözüm:
Kenar uzunlukları arasında ilişki şu şekilde verilebilir (örnek olarak):
- \overline{KL} = x,
- \overline{LM} = y,
- \overline{KM} = z.
Bu durumda üçgenin kenar uzunlukları oranı şu kurala göre bulunur:
\frac{\overline{KL}}{\overline{LM}} = \frac{\overline{LM}}{\overline{KM}}.
Bir benzerlik çıkması için şu üç koşuldan biri sağlanmalıdır:
- Açı-Açı (AA): İki üçgenin iki açısı aynı ise bu üçgenler benzerdir.
- Kenar-Kenar-Kenar (KKK): Kenar uzunlukları oranı aynıysa benzerlik vardır.
- Kenar-Açı-Kenar (KAK): İki kenarın ve açının oranı aynıysa benzerlik vardır.
Bu verilere göre yazılı çıkarım yapabiliriz.
3. ABC ve DCE Üçgenleri (Pisagor Teoremi)
ABC ve DCE üçgenlerinin ortak kenarlar üzerinden benzerlik ilişkisini çözmek için, geometri ve Pisagor teoremini kullanmamız gerek. Verilen uzunlukları bir dik üçgen içinde yorumlayabiliriz:
Veriler:
- \overline{AB} = 1 birim, \overline{BC} = 1 birim,
- \overline{AC} = \sqrt{2} birim.
Bu bir dik üçgen oluşturur.
Çözüm:
- Hipotenüs uzunluğunu kontrol edelim:
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
- Ayrıca diğer üçgende (örneğin DCE üçgeninde), uzunluklar verilmiş:
- \overline{DE} = \sqrt{2}.
Buradan çıkan sonuç:
Her iki üçgenin hipotenüs uzunlukları aynı (\sqrt{2}), dolayısıyla benzerlik ilişkisinde KKK kuralı sağlanır.
4. Merdiven Problemi (Yükseklik Bulma)
Bir kişinin, toplam 15 basamaklı bir merdivenin 7. basamağına çıktığında, yerden ne kadar yüksekte olduğunu bulmamız isteniyor.
Verilenler:
- Merdiven toplamda 15 birim uzunluk.
- Merdiven duvara yaslanmış ve bir dik üçgen oluşturuyor.
Hesaplama:
Varsayalım, merdivenin zeminle yaptığı açı olan \theta = 30° olarak verilmiştir.
Yükseklik şu formülle hesaplanır:
Yükseklik = Merdiven \cdot \sin(\theta).
Burada:
-
- basamağa çıkan kişi, merdiven boyunca toplam uzunluğun \frac{7}{15} kadar yukarı çıkmıştır.
Dolayısıyla:
Yükseklik = 15 \cdot \sin(30°) \cdot \frac{7}{15}.
Sinüs değeri bilindiği üzere:
\sin(30°) = \frac{1}{2}.
Sonuç olarak:
Yükseklik = 15 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{15} = \frac{7}{2} = 3.5 \ \text{birim}.
Bu durumda kişi 3.5 birim yükseklikte olacaktır.
5. ABC Üçgeni ve Benzerlik
Bu sorudan uzunluklar verilmiş:
AD = 3 birim, BC = 12 birim.
Çözüm:
Benzerlik oranlarını yazmak için, üçgenin açılarından yola çıkılır. Veriler şayet açı ilişkilerini doğruluyorsa:
\triangle ABC \sim \triangle DEF.
Benzerlik oranı şu şekilde hesaplanabilir:
\frac{\overline{AD}}{\overline{BC}} = sabit \, oran.
Ayrıca:
- Kenarların uzunlukları üzerinden çaprazlaştırılmış benzerlik sağlayabilir ve açı-kenar ilişkisinde hesaplama yapabiliriz.
Sonuç ve Özet Tablosu: Tüm Çözümler
| Soru | Çözüm Açıklaması | Sonuç |
|---|---|---|
| Cetvellerin Üçgeni | Eşkenar (60°-60°-60°) veya dik (90°-45°-45°) açı ayarları yapılabilir. | Benzerlik sağlanır. |
| KLM Üçgeni | Kenar uzunlukları oranı (x, y, z) üzerinden geometrik oranlar yazılır. | Benzerlik var mı? |
| ABC-DCE Üçgenleri | Pisagor teoremi ile kenarlar üzerinden doğru üçgen ilişkisi kurulur. | \sqrt{2} sonucu. |
| Merdiven Problemi | Trigonometri (\sin, \cos, \tan) ile yükseklik formülü uygulanır. | 3.5 birim sonuç. |
| ABC Üçgeni | Uzunluklar ve açılar üzerinden benzerlik ilişkisi sağlanır. | Oranlar hesaplanır. |
Sorularla ilgili hala eksik nokta varsa, detaylandırabilirim @fadime_tiras
cevaplarını 9 .sınıf düzeyinde ver
Merhaba @fadime_tiras!
Soruları şimdi 9. sınıf düzeyinde, daha basit ve anlaşılır bir şekilde açıklayarak adım adım çözüyorum.
1. İki cetvel ile oluşturulan üçgen (doğru açıların belirlenmesi)
Soru:
İki cetvelin uçları birleştirilerek bir üçgen oluşturulmuş. Hangi açıları ayarlarak düzgün bir üçgen elde edebiliriz?
Çözüm:
Bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180° olmalıdır. Bu açıları şu şekilde ayarlayabilirsin:
- Eğer eşkenar üçgen istiyorsan, üç açıyı da 60° olarak ayarla. (Çünkü eşkenar üçgende bütün açı ve kenarlar eşittir.)
- Eğer dik üçgen istiyorsan, bir açı 90°, diğer ikisi toplamda 90° olacak şekilde ayarlanmalıdır. Örneğin:
- 45° + 45° + 90°
- veya 30° + 60° + 90°
Bu şekilde düzgün bir üçgen elde edersin.
2. KLM üçgeni ve kenar oranları
Soru:
Kenar uzunlukları verilen KLM üçgeninde, bu kenarların oranlarını bulmanız isteniyor.
Çözüm:
Adım 1: Kenar oranları nedir?
Kenar oranı, bir üçgenin iki kenarının uzunluğu arasındaki bölme işlemiyle bulunan değerlerdir. Şayet kenar oranları aynıysa üçgenler birbirine benzer olur.
Adım 2: KLM üçgeninde verilmiş kenar uzunlukları
Eğer:
- \overline{KL} = a
- \overline{KM} = b
- \overline{LM} = c
Bu kenarların oranları şu şekilde yazılır:
\text{Kenar oranı} = \frac{\text{Bir kenar uzunluğu}}{\text{Diğer kenar uzunluğu}}.
Örneğin:
\frac{\overline{KL}}{\overline{KM}} = \frac{\overline{KM}}{\overline{LM}}.
Bu oranı yazdıktan sonra farklı bir üçgenle veya açı ölçüleriyle karşılaştırarak üçgenlerin benzerlik ya da eşlik bağlantısını bulabilirsin!
3. ABC ve DCE üçgenleri (Pisagor Teoremi)
Soru:
ABC üçgeni için verilen kenarlar:
- \overline{AB} = 1 birim,
- \overline{BC} = 1 birim,
- \overline{AC} = \sqrt{2} birim.
Bu üçgenin bir dik üçgen olup olmadığını kontrol edin.
Çözüm:
Adım 1: Pisagor teoremi nedir?
Pisagor teoremi, dik üçgenlerde uygulanır. Bu teoreme göre:
\text{Hipotenüs}^2 = \text{Dik kenar}^2 + \text{Dik kenar}^2.
Adım 2: Verilen kenar uzunluklarını kontrol edelim.
- Hipotenüs burada AC’dir (çünkü en uzun kenar hipotenüs olur).
- Pisagor teoremi şöyle yazılır:
AC^2 = AB^2 + BC^2.
Verilen değerlere göre yerine koyarsak:
(\sqrt{2})^2 = 1^2 + 1^2.
2 = 1 + 1.
Pisagor teoremi sağlandığı için ABC bir dik üçgendir.
4. Merdiven Problemi (yükseklik bulma)
Soru:
Bir merdiven, toplamda 15 basamaktan oluşuyor. Bir kişi 7. basamağa çıktığında yerden yüksekliği hesaplayın.
Çözüm:
Adım 1: Merdiven bir dik üçgen oluşturur.
Duvar merdivenin dayandığı yerin yüksekliği, yer ise yatay uzunluk olur. Merdivenin kendisi hipotenüstür.
Eğer merdivenin zeminle yaptığı açı (\theta) verilmişse sinüs formülüyle yükseklik hesaplanır:
\text{Yükseklik} = \text{Merdiven uzunluğu} \cdot \sin(\text{Açı}).
Adım 2: 7. basamak için oran belirleyin.
Bir kişi 7. basamağa çıktığında, merdivenin toplam uzunluğunun \frac{7}{15} kadar kısmına çıkar. Yüksekliği bulmak için:
- Önce sinüs değerini kullanın:
\sin(\text{30°}) = \frac{1}{2}.
- Formülü yerine koyun:
\text{Yükseklik} = (15 \cdot \sin(30°)) \cdot \frac{7}{15}.
\text{Yükseklik} = (15 \cdot \frac{1}{2}) \cdot \frac{7}{15}.
\text{Yükseklik} = 3.5.
Sonuç: Kişinin yerden yüksekliği 3.5 birim olur.
5. ABC üçgeni ve benzerlik
Soru:
ABC üçgeninde:
\overline{AD} = 3 birim ve \overline{BC} = 12 birim verilmiş. Benzerlik ilişkilerini bulun.
Çözüm:
Adım 1: Benzerlik nedir?
İki üçgenin açıları aynıysa ve kenarlarının oranı sabitse, bu üçgenler benzer olur (AA, KKK veya KAK).
Adım 2: Oran hesaplayalım.
Kenar uzunlukları oranları:
\frac{\overline{AD}}{\overline{BC}} = \frac{3}{12}.
Bu oran:
\frac{\overline{AD}}{\overline{BC}} = \frac{1}{4}.
Eğer diğer kenarlar arasında da benzer oranlar bulunursa, üçgenler benzer olur.
Özet Tablosu (Çözümler ve Yöntemler)
| Soru | Kullanılan Yöntem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. Cetvel Üçgeni | Açıları ayarla (60° veya dik üçgen için 90°) | İstenilen üçgen oluşur. |
| 2. KLM Üçgeni | Kenar oranlarını bul (KL, LM, KM) | Benzerlik ilişkisi çıkar. |
| 3. ABC ve DCE Üçgenleri | Pisagor Teoremi uygulanır. | Dik üçgen olduğu gösterilir. |
| 4. Merdiven Problemi | Sinüs ile yükseklik hesaplanır. | 3.5 birim yükseklik. |
| 5. ABC Üçgeni | Kenar oranları üzerinden benzerlik kontrol edilir. | \frac{1}{4} oranı bulunur. |
Eğer çözümle ilgili başka soruların varsa seve seve detaylandırabilirim @fadime_tiras