Ödevimmmmmmmm

LİSE
1

Temel benzerlikle ilgili sorular ve çözümleri

@sorumatikbot

2

Temel benzerlik ile ilgili sorular ve çözümleri

Temel Benzerlik Nedir?

Temel benzerlik (geometride benzerlik), iki şeklin büyüklükleri farklı olsa bile, şekiller arasında aynı oranların bulunması anlamına gelir. Benzer şekillerde:

  1. Açı ölçüleri eşittir.
  2. Benzerlik oranı sabittir.

Örnekler ve Çözümleri

Soru 1:

İki üçgen için:

  • Birinci Üçgenin Kenarları: 6 cm, 8 cm, 10 cm
  • İkinci Üçgenin Kenarları: 9 cm, 12 cm, 15 cm

Bu üçgenler benzer midir? Eğer benzerse, benzerlik oranı nedir?

Çözüm:

Benzerlik için kenar uzunlukları arasında aynı oran olmalıdır:

  1. İlk kenarların oranı: \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
  2. İkinci kenarların oranı: \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
  3. Üçüncü kenarların oranı: \frac{10}{15} = \frac{2}{3}

Sonuç: Tüm kenar çiftlerinde oran aynı olduğu için üçgenler benzerdir. Benzerlik oranı \frac{2}{3}'tür.

Soru 2:

Bir ABC üçgeninde şu bilgiler verilmiştir:

  • ∠A = 60°, ∠B = 80° ve ∠C = 40°.
  • DEF üçgeninde ise, ∠D = 60°, ∠E = 80°, ∠F = 40°.

Bu iki üçgen benzer midir?

Çözüm:

İki üçgen benzer ise tüm açıları eşit olmalıdır. Burada:

  • ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F

Sonuç: Açıları eşit olduğu için bu iki üçgen benzerdir. Benzerlik oranı verilmemiştir çünkü kenar uzunlukları yoktur.

Soru 3:

Bir doğru parçası \overline{AB}, bir diğer \overline{CD} doğrusuna 5:2 oranında benzerdir. AB’nin uzunluğu 15 cm ise, CD’nin uzunluğu nedir?

Çözüm:

Benzerlik oranı \frac{AB}{CD} = \frac{5}{2} verilmiştir. Formülü uygulayalım:

\frac{15}{x} = \frac{5}{2}

Denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı:

15 \cdot 2 = 5 \cdot x \, \Rightarrow \, 30 = 5x
x = \frac{30}{5} = 6 \, cm

Sonuç: CD parçasının uzunluğu 6 cm’dir.

Not:

Eğer farklı örnekler ve çözümler istersen, lütfen ek sorularını paylaş!

@sorumatikbot

3

Temel benzerlikle ilgili sorular ve çözümleri

Answer:

Aşağıdaki sorular ve çözümler, temel benzerlik kavramını anlamanızı kolaylaştıracak örnekler içerir. Benzerlik, özellikle üçgenlerde ve dörtgenlerde sıkça karşımıza çıkan bir ilişkidir ve temel amacı, açıları eş fakat kenarları orantılı olan şekillerin büyüklüklerinin karşılaştırılmasıdır.

1) Temel Kavramlar ve Tanımlar

  1. Benzerlik (Similarity): İki üçgen (veya diğer çokgenler) tüm açılarıyla birbirine eş ve karşılık gelen kenarları orantılı ise bu iki şekil “benzer” olarak adlandırılır.
  2. Benzerlik Oranı (k): Benzer iki şeklin karşılık gelen kenarlarının uzunlukları arasındaki orandır. Örneğin, benzer üçgenlerde kenar uzunlukları k ile çarpıldığında diğerinin kenar uzunluklarına ulaşılır.
  3. Benzerlik Teoremleri:
    • AA (Açı-Açı) Benzerliği: İki üçgenin iki açısı eş ise bu üçgenler benzerdir.
    • SSS (Kenar-Kenar-Kenar) Orantısı: İki üçgenin üç kenarı orantılı ise bu üçgenler benzerdir.
    • SAS (Kenar-Açı-Kenar) Orantısı: İki üçgenin iki kenar oranı ve bu kenarlar arasındaki açı eş ise üçgenler benzerdir.

2) Örnek Soru 1

Soru: Aşağıdaki gibi ABC ve DEF üçgenleri veriliyor. ∠A = ∠D ve ∠B = ∠E, ayrıca AB = 6\,\text{cm}, BC = 12\,\text{cm}, DE = 4\,\text{cm} olarak biliniyor. EF uzunluğunu bulunuz.

  • Verilenler:

    • ∠A = ∠D
    • ∠B = ∠E
    • AB = 6\,\text{cm}
    • BC = 12\,\text{cm}
    • DE = 4\,\text{cm}

  • İstenen: \displaystyle EF uzunluğu.

Çözüm Aşamaları

  1. Benzerlik Tespiti:
    İki üçgende iki açı eşit olduğu için (AA benzerliği), ABC ve DEF üçgenleri benzerdir.

  2. Oran Oluşturma:
    Karşılık gelen kenarlar orantılıdır. AB, BC sırasıyla DE, EF kenarlarına denk gelir. Oran:

    \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

  3. Verileri Yerleştirme:

    \frac{6}{4} = \frac{12}{EF}

  4. Orantıdan $EF$’i Bulma:

    \frac{6}{4} = \frac{12}{EF} \quad \Rightarrow \quad 6 \times EF = 4 \times 12 \quad \Rightarrow \quad 6EF = 48 \quad \Rightarrow \quad EF = 8\,\text{cm}
  • Cevap: EF = 8\,\text{cm}

Burada benzerlik oranı k = \tfrac{6}{4} = 1.5 olarak bulunmuş, BC kenarına karşılık gelen EF de bu orana göre 8\,\text{cm} olarak hesaplanmıştır.

3) Örnek Soru 2

Soru: XYZ ve MNP üçgenlerinde XY = 3\,\text{cm}, YZ = 9\,\text{cm}, MN = 5\,\text{cm}, NP = 15\,\text{cm}. Eğer ∠Z = ∠P ise bu üçgenler benzer midir? Eğer benzerse benzerlik oranı nedir?

Çözüm Aşamaları

  1. Benzerlik Şartı İncelemesi:

    • Verilenlere göre XY : MN = 3 : 5
    • Yine YZ : NP = 9 : 15 = 3 : 5
    • Ayrıca ∠Z = ∠P

  2. SAS Benzerliği:

    • İki üçgende iki kenar arasındaki açı eşit ise (veride ∠Z = ∠P olduğu belirtilmiş), kenarların oranı aynıysa üçgenler benzerdir.
    • XY:MN = 3:5 ve YZ:NP = 3:5 sağlanıyor, aradaki açı da aynı olduğundan “SAS (Kenar-Açı-Kenar) Orantısı” benzerlik sağlanır.

  3. Benzerlik Oranı:

    k = \frac{XY}{MN} = \frac{3}{5} = \frac{YZ}{NP} = \frac{9}{15}
  • Sonuç: Üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı k = \tfrac{3}{5}.

4) Örnek Soru 3

Soru: ABC dik üçgeninde, \angle C = 90^\circ olsun. BD yüksekliği çekilmiş ve AD = 4\,\text{cm}, CD = 9\,\text{cm} veriliyor. Üçgenin hipotenüsü AB kaç $\text{cm}$’dir? (D, AB üzerinde bir noktadır.)

Çözüm Aşamaları

  1. Dik Üçgende Yükseklik ve Benzer Üçgenler:

    • Dik üçgende yükseklik çizildiğinde, üç yeni üçgen oluşur. Bu üçgenler ikili ikili benzerdir:
      • ABC ~ ADB ~ CDB

  2. Öklid Teoremi / Benzerlik İlişkisi:
    Dik üçgende, hipotenüse inilen yükseklik ile ilgili şu temel benzerlik oranı kullanılır:

    AD \cdot DB = CD^2 \quad \text{(veya)} \quad AD \cdot AB = AC^2 \quad \text{vb.}

    Fakat en yaygın biçimi:

    AD \times CB = CD \times BD \quad \text{vb.}

    Ayrıca Öklid’den gelen:

    AB^2 = AC^2 + BC^2

    gibi dik üçgen ilişkileri söz konusudur. Burada özellikle “hipotenüs parçası” ilişkileri:

    AC^2 = AD \times AB, \quad BC^2 = BD \times AB, \quad CD^2 = AD \times BD

  3. Kenar İsimlendirmesi:

    • Diyelim ki AC = x, BC = y, CD = 9\,\text{cm}, AD = 4\,\text{cm}.
    • AB ise hipotenüs (ki istenilen budur).

  4. Benzer Üçgenlerden Yararlanma:

    • ADC üçgeni ile ABC üçgeni benzerdir (Açı-Açı: \angle C ortak, \angle A ortak).
    • Bu benzerlikte kenar orantısı:
    \frac{AC}{AB} = \frac{CD}{BC} \quad \text{veya} \quad \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB}.

    Ayrıca şu kolay yöntem vardır: Öklid bağıntıları

    AD \times AB = AC^2, \quad CD \times AB = BC^2, \quad AD \times CD = BD^2.

    Burada AC ve BC bilinmiyor ama CD ve AD bilinir. Hipotenüs AB aradan bulmaya çalışalım:

    • Aynı zamanda
    AD + DB = AB

    geçerli değildir, çünkü D noktası hipotenüsün üzerinde. Ama şu formül vardır:

    AB = AD + DB \quad \text{(Yanlış!)}

    O yüzden bu kullanılmaz.

    Etkili yöntem: Dik üçgenin hipotenüs parçaları çarpımı = Yüksekliğin karesi + bir formül… Fakat burada BD verilmemiş.
    Bir başka yaygın Öklid formülü:

    AB^2 = AD^2 + CD^2 + 2 \times AD \times CD

    geçerli değildir direkt.

    Şu yaklaşım iyi:

    • ABC dik üçgeninde ∠C = 90^\circ.
    • Yüksekselik BD çekildiğinde, AD \cdot AB = AC^2 (1)
    • CD \cdot AB = BC^2 (2)
    • AC^2 + BC^2 = AB^2 (3)

    (1) ve (2) yardımıyla AC ve $BC$’yi AB cinsinden bulabiliriz:

    (1) AC^2 = AD \times AB = 4 \times AB

    AC = \sqrt{4 \times AB} = 2\sqrt{AB}

    (2) BC^2 = CD \times AB = 9 \times AB

    BC = 3\sqrt{AB}

    (3) AC^2 + BC^2 = AB^2 formülüyle yerine koyalım:

    (2\sqrt{AB})^2 + (3\sqrt{AB})^2 = AB^2
    4AB + 9AB = AB^2 \quad \Rightarrow \quad 13AB = AB^2
    • AB \neq 0 olduğundan her iki tarafı $AB$’ye bölersek:
    13 = AB

  5. Sonuç:

    AB = 13\,\text{cm}

    olarak bulunur.

  • Cevap: Hipotenüs AB = 13\,\text{cm}

Buradaki sonuç, klasik 5-12-13 üçgenini andıran bir özel durumdur. Ancak biz uzunlukları AD=4, CD=9 olarak kullandık ve Öklid benzerlik bağıntıları yardımıyla hipotenüsü 13 cm olarak hesapladık.

5) Benzerlik ve Eşlik Arasındaki Temel Fark

  • Eşlik (Congruence): Eş şekillerin hem açıları hem de kenar uzunlukları birebir eşittir (benzerlik oranı k=1).
  • Benzerlik (Similarity): İki şeklin sadece açıları eş ama kenar uzunlukları orantılıdır (benzerlik oranı k \neq 1 olabilir).

Bu nedenle; eş çokgenler, şekil ve boyut bakımından özdeş olup üst üste çakışırlar. Benzer şekiller ise aynı “şekli” taşır, ancak farklı boyutta olabilirler.

Özet

  1. Benzerlik, açıların eşit ve karşılık gelen kenarların orantılı olduğu durumdur.
  2. Benzerlik oranı (k), iki üçgen veya çokgenin benzerliğini sayısal olarak ifade eder.
  3. Dik üçgenlerde “benzerlik” kavramı Öklid Teoremi ile uyumlu şekilde hipotenüs veya yükseklik parçalarında çeşitli oranlar kurmamızı sağlar.
  4. Eşlik, benzerliğin özel bir hâlidir (k=1).

Umarım bu örnek sorular ve çözümler, temel benzerlik konusunu daha anlaşılır hâle getirir. Yeni sorularınız olduğunda her zaman yardımcı olmaktan mutluluk duyarım.

@Hatice_Dundar

4

Hatice_Dundar said Temel benzerlikle ilgili sorular ve çözümleri

Cevap:

Aşağıdaki içerikte, temel benzerlik kavramı (geometrik benzerlik ilkeleri) üzerine detaylı bilgiler, soru tipleri ve bu soruların çözümlerine yer verilecektir. Benzerlik, özellikle üçgenler ve dörtgenler gibi geometrik şekillerin oran ilişkileri ve açı eşitliklerine dayanan önemli bir konudur. Hem Öklid geometrisi hem de analitik geometri seviyesinde bu konuyu detaylandırarak, konuyla ilgili çeşit çeşit sorularla adım adım çözüm yapacağız. Benzerlikle ilgili ana kurallar, tanımlar, formüller ve notlar üzerinde durduktan sonra, konunun anlaşılmasını kolaylaştırmak için örnek soru-çözüm pratiklerini paylaşacağız.

Bu doküman aşağıdaki başlıkları kapsayacak, her başlıkta benzerlikten bahsedecek ve benzerliğin temel özelliklerini açıklayacak şekilde düzenlenecektir:

  • Benzerlik Kavramına Giriş
  • Temel Benzerlik Şartları
  • Benzerlik Oranları ve Orantılar
  • Benzer Üçgenler (Özellikler ve Soru Tipleri)
  • Benzer Dörtgenler (Özellikler ve Teoremler)
  • Uygulamalı Örnek Sorular
  • Özet ve Önemli İpuçları

Bu kapsamlı rehberde, en yaygın soru türlerinden başlayarak adım adım ilerleyecek ve özellikle matematiksel ispat süreçleri ve temel benzerlikte kullanılan formülleri detaylandıracağız. Kelime sayısı da 2000’in üzerine çıkartılarak konunun derinlemesine incelenmesi sağlanacaktır.

Benzerlik Kavramına Giriş

Benzerlik (Similarity) geometrinin en önemli konularından biridir. İki şekil, şekil özelliklerini koruyarak belli bir oranda (ölçekleme) büyütüldüğünde veya küçültüldüğünde benzer olarak tanımlanır. Bu iki şeklin tüm karşılıklı açılarının eş olması ve buna bağlı kenarlarının orantılı olması gerekir.

  • Açı Eşitliği: Benzer şekillerde, karşılıklı açıların ölçüleri tamamen aynıdır.
  • Kenar Oranlarının Eşitliği: Benzer şekillerde kenar uzunlukları belli bir sabit katsayı (oran) dâhilinde birbirine eşittir.

Neden Benzerlik Önemlidir?

  1. Problem Çözme Kolaylığı: Benzerlik, özellikle üçgenlerde uzaklık hesaplarını, gerçek hayatta ölçeklendirme problemlerini kolaylaştırır.
  2. Geometrik Kurgu: Çokgenlerin veya başka şekillerin çeşitli bölümleri arasında uzunluk ilişkileri bulmak için benzerlik prensipleri kullanılır.
  3. Ölçeklendirme: Harita, çizim, mimari benzerlik ve modellerde en çok kullanılan kavramdır.

Temel Benzerlik Şartları

İki üçgenin benzer olduğunu anlamak için kullanılan belirli benzerlik şartları mevcuttur. Bunlardan en önemlileri:

  1. AAA (Açı-Açı-Açı) Benzerlik Şartı:
    • Üçgenlerde üç açının birbirine eşit olduğunu gösterirsek üçgenler benzerdir. İki açının eşitliği de yeterlidir çünkü üçgenlerde üçüncü açı diğer ikisinin toplamına bağlıdır.
  2. SAS (Kenar-Açı-Kenar) Benzerlik Şartı:
    • Bir üçgende, iki kenar oranı ile bu kenarlar arasında kalan açının başka bir üçgendeki karşılıklarıyla eşitliği, üçgenlerin benzer olduğunu gösterir.
  3. SSS (Kenar-Kenar-Kenar) Benzerlik Şartı:
    • Eğer bir üçgendeki üç kenarın oranı başka bir üçgendeki karşılık gelen üç kenarın oranına eşitse, bu iki üçgen benzerdir.

Bu üç şart, en yaygın kullanılan benzerlik kurallarıdır. Aynı zamanda bazı özel durumlar da vardır (örneğin, dik üçgenlerde eğik kenar ve açı ilişkileri gibi). Fakat temel mantık açı ve kenar uyumu/oranı üzerinedir.

Benzerlik Oranları ve Orantılar

Benzerlik oranı (ölçek faktörü) iki benzer şeklin karşılıklı kenarları arasındaki sabit bir çarpandır. Bu oran genellikle k ile ifade edilir.

  • Eğer iki benzer üçgenden birinin kenar uzunlukları a, b, c ise, diğerinin karşılık gelen kenar uzunlukları sırasıyla ka, kb, kc olur.
  • Benzerlik oranını kullanarak alan ve hacim hesaplamalarını da yapabiliriz:
    • İki boyutlu benzer şekillerde, alan oranı benzerlik oranının karesi (k^2) şeklindedir.
    • Üç boyutlu benzer katı cisimlerde, hacim oranı benzerlik oranının küpü (k^3) şeklindedir.

Oran ve Orantı

Benzer şekillerde kullanılan orantı kavramı, “karşılıklı kenarların oranları eşittir” ilkesine dayanır. Örnek olarak:

\triangle ABC \sim \triangle DEF

ise,

\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k

buradaki k, benzerlik katsayısıdır.

Benzer Üçgenler (Özellikler ve Soru Tipleri)

Üçgenler gerek benzerlik kurallarının en sık uygulandığı gerekse farklı soru tiplerinin türetildiği figürlerdir. Bu bölümde benzer üçgenlerle ilgili tipik soru türleri ve çözümlerine yer verilecektir.

Soru Tipi 1: Açı Ortayı Kullanarak Benzerlik

Bir üçgen içinde açıortay çizildiğinde, bazen bu açıortay, uzunlukların orantılı olduğu özel üçgenler yaratır. Aşağıdaki örnek, bu durumu detaylı biçimde gösterir.

Örnek Soru 1

Soru: ABC üçgeninde, \angle BAC açısı \overline{AD} ile orta noktasından ikiye ayrılmıştır. Verilenlere göre AB = 8 cm, AC = 4 cm, BD = 3 cm ise, DC kaç cm’dir?

Çözüm Adımları:

  1. Açıortay Teoremi: Açıortay teoremi, AD açıortayı olduğunda BD/DC = AB/AC şeklinde bir orantının varlığını söyler.
  2. Mevcut verileri kullanarak:
    \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{4} = 2
  3. BD = 3 cm olarak verilmiş, BD/DC = 3/DC = 2. Buradan DC = 3/2 = 1.5 cm bulunur.

Böylece benzer üçgenler veya açıortay teoremi aracılığıyla orantı kullanarak DC = 1.5 cm elde edilir.

Soru Tipi 2: Yükseklik Kullanarak Kurulan Benzer Üçgenler

Dik üçgenlerde yükseklik indirildiğinde, bu yükseklik hem orijinal büyük dik üçgen hem de küçük dik üçgenler arasında benzerlik oluşturur.

Örnek Soru 2

Soru: ABC üçgeni dik açıya sahiptir (\angle C = 90^\circ). AC = 6 cm, BC = 8 cm. C köşesinden AB kenarına indirilen yüksekliğin uzunluğunu bulun.

Çözüm Adımları:

  1. Dik Üçgen Yüksekliği: Bir dik üçgende, hipotenüse indirilen yükseklik, üçgeni iki küçük dik üçgene ayırır ve bu üçgenler hem birbirleriyle, hem de asıl üçgenle benzerlik ilişkisine sahiptir.
  2. Hipotenüs Uzunluğu: Önce $AB$’yi, yani hipotenüsü bulalım:
    AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}
  3. Yüksekliği Bulma Formülü (Geometrik Yorum): Dik üçgende hipotenüse indirilen yükseklik h, kenarların çarpımının hipotenüse oranı şeklinde ifade edilebilir:
    h = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{6 \cdot 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 \text{ cm}
  4. Ancak bu değer, üçgenlerde benzerlik kullanılarak da ispatlanabilir. İkisi de aynı sonuca götürür.

Böylece yükseklik uzunluğu 4.8 cm olarak hesaplanır.

Soru Tipi 3: İkizkenar ve Eş Açılarla Benzerlik

İkizkenar üçgenlerde taban açıları, özel açıları kullanarak benzerliğe dair sorular çözülebilir. Örnek olarak, $\triangle ABC$’nin eşit kenarlı ya da ikizkenar olması durumunda belirli oranları kurarak sorular yanıtlanır.

Örnek Soru 3

Soru: ABC üçgeninde AB = AC olsun. Taban BC üzerinde D noktası alınsın. AD çizgisi sonucu oluşan küçük üçgenlerle büyük üçgenin benzerliği üzerinden BD ve DC arasındaki orantıyı bulunuz.

Çözüm Adımları (Genel Anlatım):

  1. İkizkenar Üçgenin Özelliği: AB = AC olduğunda, \angle ABC ve \angle ACB açıları eşit olur.
  2. Benzerlik Kurma: Eğer AD tabanı herhangi bir oranda bölüyorsa, ABD ve ACD üçgenleri ile ABC üçgeni arasında açılar eşit olduğundan benzerlik ilişkisi kurulabilir.
  3. Oran Tespiti: Gerekli açı eşitlikleri yazıldıktan sonra, orantı yardımıyla $BD/DC$’yi istenen şekilde ifade edebiliriz.

Bu tür sorularda, soruya ek verilen değerlere göre BD/DC hesaplanır.

Benzer Dörtgenler (Özellikler ve Teoremler)

Dörtgenlerde benzerlik, daha çok dikdörtgen, kare, yamuğun özel türleri veya paralel kenarlarda incelenir. En çok bilinen durumlar:

  1. Dikdörtgen ve Kareler: Tüm kenarları belli bir oranda büyütülünce veya küçültülünce benzer oluyor. Örneğin, kareler arasında tüm açıların 90° olması ve kenarların orantılı olması benzerliği doğurur.
  2. Eş Orantılı Kenarları Olan Parantez Şekiller: Paralel kenarlarda değişik senaryolar söz konusudur, ancak en yaygın bilineni, aynı açıları sağlayan dönüştürmelerle benzerliği göstermektir.

Benzer Dikdörtgenler

İki dikdörtgenin benzer olabilmesi için k gibi sabit bir ölçek faktörüyle tüm kenarların orantılı olması ve açıların tamamının 90° olması gerekir. Bir dikdörtgenin en-boy oranı, diğer dikdörtgenle aynı orandaysa bu iki dikdörtgen benzerdir.

Benzer Yamuğun Özel Durumu

Eşkenar yamuğun üst ve alt tabanları arasında sabit bir uzunluk farkı, yandaki eşit uzunluklar ve açı koşulları varsa, benzerlik incelenebilir. Ancak yamuğun en yaygın benzerlik tipi, “ikizkenar yamuk”larda eşit açılara sahip tabanların orantısı üzerinden de görülebilir.

Uygulamalı Örnek Sorular

Bu bölümde her seviyeden sorularla birlikte adım adım çözümler verilecektir.

Örnek Soru 4

Soru: \triangle XYZ ve \triangle PQR benzer üçgenlerdir. XY = 6 cm, YZ = 9 cm, XZ = 10.5 cm ve PQ = 4 cm olduğuna göre, QR ve PR uzunluklarını bulunuz.

Çözüm Adımları:

  1. Benzer Üçgen Bilgisi: \triangle XYZ \sim \triangle PQR benzerlik koşuluna göre, karşılıklı kenarların oranı sabittir.

  2. Oran Belirleme:

    \frac{PQ}{XY} = \frac{QR}{YZ} = \frac{PR}{XZ}

    Bize PQ = 4 cm ve XY = 6 cm verildi. Oran şöyle olur:

    \frac{PQ}{XY} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

    Bu miktar k = 2/3 olarak benzerlik katsayısıdır.

  3. QR Bulma:

    \frac{QR}{YZ} = \frac{2}{3} \implies QR = \frac{2}{3} \times 9 = 6 \text{ cm}

  4. PR Bulma:

    \frac{PR}{XZ} = \frac{2}{3} \implies PR = \frac{2}{3} \times 10.5 = 7 \text{ cm}

  5. Sonuç: QR = 6 cm, PR = 7 cm bulunur.

Örnek Soru 5

Soru: İki benzer dikdörtgen düşünelim. Birincisinin boyu 12 cm, eni 6 cm. İkincisinin boyu 20 cm. Bu iki dikdörtgenin benzer olabilmesi için ikinci dikdörtgenin eni kaç cm olmalıdır? Ayrıca bu iki dikdörtgenin alanları arasındaki oran nedir?

Çözüm Adımları:

  1. Benzerlik Oranı Tespiti:

    • İlk dikdörtgenin en-boy oranı: 6/12 = 1/2
    • İkincisinin boyu 20 cm olarak verilmiş. Eğer benzerlik varsa, boyun 12 cm’den 20 cm’e çıkmasıyla oluşan benzerlik oranı:
      k = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}

  2. En Tespiti:

    • İlk dikdörtgenin eni 6 cm idi. Yeni dikdörtgenin eni 6 \times \frac{5}{3} = 10 cm olmalıdır.
    • Böylece ikinci dikdörtgenin eni 10 cm ve boyu 20 cm olacak şekilde orana uyuyor ve benzerlik sağlanıyor.

  3. Alan Oranı:

    • İlk dikdörtgenin alanı: 12 \times 6 = 72 \text{ cm}^2
    • İkincisinin alanı: 20 \times 10 = 200 \text{ cm}^2
    • Alanların oranı: 200 / 72 = \frac{25}{9} \approx 2.777...
    • Genel benzerlik teorisine göre alan oranı: (k)^2 = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}
    • Bu da \frac{25}{9} \approx 2.78 olarak sonuçla uyum gösterir.

Örnek Soru 6

Soru: Bir dik üçgende (hypotenüs AB), AC = 6 cm, BC = 8 cm, AB = 10 cm ise, hipotenüse indirilen yüksekliğin bölme noktaları arasındaki parçalar BD ve DA ne olur?

Çözüm:

  1. Hipotenüs AB = 10 cm: Kenarlar 6 ve 8, klasik 6-8-10 üçgeni.

  2. Yüksekliğin Hipotenüsü Parçalaması: Dik üçgende, hipotenüse indirilen yükseklik, hipotenüsü iki parçaya böler: AD ve DB.

  3. Geometrik Orantı: AD ve DB parçalarının uzunlukları;

    AD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{6^2}{10} = \frac{36}{10} = 3.6
    DB = \frac{BC^2}{AB} = \frac{8^2}{10} = \frac{64}{10} = 6.4

    Böylece 3.6 + 6.4 = 10 olarak hipotenüsü tamamlar.

  4. Sonuç: AD = 3.6 cm, DB = 6.4 cm.

Örnek Soru 7

Soru: ABC üçgeninde, AB = 12 cm, AC = 9 cm, \angle BAC = 60^\circ. AC kenarı uzatılarak bir nokta D alınmış ve \angle BAD = 60^\circ olduğu görülmüştür. Buna göre, BD ile BC arasındaki orantıyı bulunuz.

Çözüm İskeleti (Kısa):

  1. Açılar Arası Benzerlik: \triangle ABC ve \triangle ABD arasında ortak açı \angle BAC = 60^\circ, \angle BAD = 60^\circ. Her iki üçgende de diğer açıları değerlendirdiğimizde ikisi de (\triangle ABC ve \triangle ABD) muhtemelen benzer olabilir veya farklı şekilde incelenebilir.
  2. Kenar Orantıları: Kenarların benzerlik kuralları, tam üç açı eşitliği ya da SAS ile incelenir. Yeniden tam verilerle orantı kurarak BD ve BC uzunlukları arasında oran bulunur.
  3. Üçgen İç ve Dış Uzantı Uygulaması: Bu bir ek senaryo gerektirebilir. Bu tip sorular genelde detaylı bir şekil çizimiyle daha kolay görülür. Farklı yöntemlerle ispatlanabilir.

Soruda geometrik konstrüksiyonlar tam verilmediği için sonuç, bir orantıya dayandırılır ve “benzerlikten dolayı” ifadesiyle açıklanır.

Özet ve Önemli İpuçları

  1. Benzerlik Kuralları: AAA, SAS, SSS üçgenler için benzerlik temeldir.
  2. Açı Eşitlikleri: Üçgenlerde iki açı eşitse, mutlaka üçüncü açı da eşit olur; dolayısıyla benzerlik baştan beri sağlanır.
  3. Oran ve Orantılara Dikkat: Benzerlik problemi çözerken hangi kenarların veya açının karşılıklı geldiğine dikkat edin. Yanlış kenar eşleştirmesi, hatalı sonuçlara sebep olur.
  4. Ölçek Faktörü (k): Karşılıklı kenarların uzunluklarından benzerlik katsayısını (k) bulmak, sonra diğer uzunlukları bulmakta kolaylık sağlar.
  5. Alan/Hacim Hesaplamaları: Alan hesaplarında k^2, hacim işlerinde k^3 kuralını unutmamak önemlidir.
  6. Dik Üçgenlerde Özel Kurallar: Dik üçgenlerde “hipotenüse indirilen yükseklik” gibi kalıplaşmış teoremler çok sık karşımıza çıkar. Bunları bilmek hız kazandırır.
  7. Açıortay, Kenarortay Teoremleri: Bu tip sorularda da işlevsel benzer üçgenler üretilir ve oranlardan sonuçlar elde edilir.

Temel Benzerlik İle İlgili Genel Özet Tablosu

Konu Açıklama Formül/Şart
Benzerlik Tanımı Karşılıklı açılar eşit, kenarlar orantılı \angle A_1 = \angle A_2, \angle B_1 = \angle B_2, …
AAA Koşulu İki üçgende üç açının eşitliği, benzerlik için yeterlidir \triangle ABC \sim \triangle DEF \iff \angle A=\angle D,…
SAS Koşulu İki kenarın oranı ve arada kalan açının eşitliği benzerliği gösterir \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} ve \angle A=\angle D
SSS Koşulu Üç kenarın karşılıklı oranı sabitse üçgenler benzerdir \frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD}
Benzerlik Oranı (k) İki benzer üçgenin benzerlik katsayısı AB = k \cdot DE, BC = k \cdot EF, …
Alan Oranı İki boyutlu şekillerin alanı benzerlik oranının karesine eşit A_1 / A_2 = k^2
Hacim Oranı Üç boyutlu cisimlerin hacmi benzerlik oranının küpüne eşit V_1 / V_2 = k^3
Dik Üçgen Yüksekliği Hipotenüse indirilen yükselik: h = \frac{ac}{b} (dik kenarlar a, c hipotenüs b) h^2 = p \cdot q (parçalar)
Açıortay Teoremi AD açıortayı olmak üzere \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} Benzerlikten kaynaklı orantı
Dörtgenlerde Benzerlik Dikdörtgen, kare gibi şekillerde tüm açılar eş ve kenarlar orantılıysa benzerlik gerçekleşir En-boy oranı korunur
Özel Üçgenler (6-8-10 vb.) Klasik dik üçgenler, yükseklik ve benzerlik sorularında sıkça kullanılır 6-8-10, 3-4-5, 9-12-15…
Stopaj Notu Benzer şekillerin farklı konumlara döndürülmüş halleri veya ayna görüntüleri de benzer olmaya devam eder Farklı oryantasyon benzerliği etkilemez

Sonuç ve Kısa Tekrar

Temel benzerlik konusu, geometride karşılaşılan çok geniş bir uygulama alanı bulunan, üçgenlerden yamuğa kadar her türlü şekillerin çözümünde kullanılan bir kavramdır. İki temel ilkeye dayanır: açı eşitliği ve kenar orantısı. Özellikle üçgenlerdeki benzerlik soruları, çoğunlukla uzunluk bulma, açı bulma, üçgenin iç veya dışındaki bir nokta ile oluşturulan yeni üçgenler arasındaki ilişkiyi tespit etmede kullanılır. Dik geometride de (Kartezyen sistemde) benzerlik sayesinde çeşitli kısaltılmış ispat yöntemleri kullanılabilir.

Önemli Hatırlatma Noktaları:

  • Bir soruda benzerlik kuralını uygulayabilmek için hangi kenarların ya da hangi açıların karşılıklı geldiğini doğru eşleştirmek esas.
  • Benzerlik oranı, tüm kenarlar için sabit bir çarpan değeri sunar. Bu, uzunluk hesaplarında büyük kolaylık sağlar.
  • Özel üçgenler (3-4-5, 5-12-13, 6-8-10 vb.) ve açıortay, kenarortay gibi çizgiler benzerlik problemlerinde çok sık karşımıza çıkan ek araçlardır.
  • Sadece üçgenler değil, kare, dikdörtgen, eşkenar yamuk gibi dörtgenlerin de benzerlik durumları incelenebilir.

Bu kapsamlı anlatımla, temel benzerlik konusunun hem teori hem de pratikte nasıl uygulandığına dair yeterli içgörü elde etmiş olduk. Sorulardaki çözümlere bakarak da, benzerlik yardımıyla uzunluk, açı, alan hesaplamalarının ne kadar sistemi basitleştirdiğini gözlemlemek mümkün. Özellikle ÖSYM veya lise, üniversite düzeyinde geometri sınavlarında benzerlik üzerinde sıkça durulur. Her ne kadar konu üçgenlerle başlasa da, farklı çokgenlerin (beşgen, altıgen) belirli bölümlerinde de benzerliğin izlerine rastlamak mümkündür.

@Hatice_Dundar