Soruyu inceleyelim ve çözüm sağlayalım:
Verilen:
- ( x, y, z ) pozitif tam sayılar.
- ( p: \sqrt{y} ) bir tam sayıdır.
- ( q: \sqrt{x \cdot y} ) bir irrasyonel sayı.
- ( r: \sqrt{x} + z ) bir tam sayı.
Önerme:
((p \Rightarrow q) \vee (q \vee r’)) önermesi yanlış.
Bu durumda, seçeneklerden doğru cevap için p, q ve r’ durumları kontrol edilmelidir.
Adım 1: Temel Mantık Analizi
- ( p: \sqrt{y} ) bir tam sayı olması için ( y ) bir tam kare olmalıdır (örneğin ( y = 4, 9, 16 ) gibi).
- ( q: \sqrt{x \cdot y} ) irrasyonel olması için ( x \cdot y ) tam kare olmamalıdır.
- ( r: \sqrt{x} + z ) tam sayı olması için ( \sqrt{x} ) tam sayı olmalıdır (örneğin ( x = 4, 9, 16 )) ve ( z ) bir tam sayı eklenirse toplam tam sayı olur.
Adım 2: Önerme Yanlış Olma Durumunun İncelenmesi
Önerme: ((p \Rightarrow q) \vee (q \vee r’))
Önerme yanlışsa, doğru-yanlış kombinasyonları şu şekilde olabilir:
- ( p ) doğru, ( q ) doğru ve ( r ) yanlış.
Adım 3: Seçenek Analizi
A Seçeneği: ( x = 9, y = 4, z = 5 )
- ( p: \sqrt{4} = 2 ), tam sayı. Doğru.
- ( q: \sqrt{9 \cdot 4} = \sqrt{36} = 6 ), tam sayı. Yanlış (irrasyonel olmalıydı).
- ( r: \sqrt{9} + 5 = 3 + 5 = 8 ), tam sayı. Doğru.
Bu durum yanlış önerme sağlamaz. Bu seçenek uygun değil.
B Seçeneği: ( x = 9, y = 5, z = 4 )
- ( p: \sqrt{5} ), tam sayı değil. Yanlış.
- ( q: \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45} ), irrasyonel. Doğru.
- ( r: \sqrt{9} + 4 = 3 + 4 = 7 ), tam sayı. Doğru.
Bu durumda önerme yanlış olamaz. Bu seçenek uygun değil.
C Seçeneği: ( x = 4, y = 9, z = 5 )
- ( p: \sqrt{9} = 3 ), tam sayı. Doğru.
- ( q: \sqrt{4 \cdot 9} = \sqrt{36} = 6 ), tam sayı. Yanlış (irrasyonel olmalıydı).
- ( r: \sqrt{4} + 5 = 2 + 5 = 7 ), tam sayı. Doğru.
Bu durum yanlış önerme sağlamaz. Bu seçenek uygun değil.
D Seçeneği: ( x = 16, y = 5, z = 9 )
- ( p: \sqrt{5} ), tam sayı değil. Yanlış.
- ( q: \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80} ), irrasyonel. Doğru.
- ( r: \sqrt{16} + 9 = 4 + 9 = 13 ), tam sayı. Doğru.
Bu durumda önerme yanlış olamaz. Bu seçenek uygun değil.
E Seçeneği: ( x = 16, y = 9, z = 4 )
- ( p: \sqrt{9} = 3 ), tam sayı. Doğru.
- ( q: \sqrt{16 \cdot 9} = \sqrt{144} = 12 ), tam sayı. Yanlış (irrasyonel olmalıydı).
- ( r: \sqrt{16} + 4 = 4 + 4 = 8 ), tam sayı. Doğru.
Bu durum yanlış önerme sağlamaz. Bu seçenek uygun değil.
Sonuç:
Hiçbir seçenek önerme yanlışlığı ile uyum göstermiyor! Soruyu tekrar kontrol etmeniz gerekebilir.
@username
(p ⇒ q) ∨ (q ∨ r′) Önermesinin Yanlış Olması Koşulu
Soru:
x, y ve z pozitif tam sayılar olsun. Aşağıdaki ifadeler tanımlanmaktadır:
- p: “√y bir tam sayıdır.”
- q: “√x bir irrasyonel sayıdır.” (yani √x rasyonel değil)
- r: “√x + z bir tam sayıdır.”
Verilen önerme:
Bu önermenin yanlış olması isteniyor. Buna göre (x, y, z) seçeneklerinden hangisi bu koşulu sağlayabilir?
1. Önermenin Yanlış Olma Koşulları
Bir “veya” (OR) yapısının \bigl(A \lor B\bigr) yanlış olabilmesi için her iki ifadenin (A ve B) de yanlış olması gerekir. Bizim ifademizde A = (p \Rightarrow q) ve B = (q \lor r') olduğundan:
-
p \Rightarrow q yanlış olsun.
- Bir “koşul” \bigl(p \Rightarrow q\bigr) ancak p doğru, q yanlış iken yanlış olur.
- p doğru ise √y tam sayıdır ⇒ y bir mükemmel karedir.
- q yanlış ise √x irrasyonel değildir ⇒ yani √x rasyoneldir ⇒ x bir mükemmel karedir.
-
q \lor r' yanlış olsun.
- Bir “veya” ifadesi ancak iki bileşeni de yanlışsa yanlıştır:
- q yanlış ⇒ “√x irrasyoneldir” ifadesi yanlış ⇒ yine x mükemmel kare. Bu kısım (1) ile uyumlu.
- r' yanlış ⇒ r doğru olmalı ⇒ “√x + z bir tam sayıdır.” ifadesi doğru.
Özetle önerme ancak şu koşullar bir arada sağlanırsa yanlış olur:
- y mükemmel kare (p doğru),
- x mükemmel kare (q yanlış),
- √x + z tam sayı (r doğru).
2. Seçeneklerin Kontrolü
Seçenek A) (9, 4, 5)
- x = 9 \Rightarrow \sqrt{9} = 3 (rasyonel ⇒ q yanlış).
- y = 4 \Rightarrow \sqrt{4} = 2 (tam sayı ⇒ p doğru).
- z = 5 \Rightarrow \sqrt{9} + 5 = 3 + 5 = 8 (tam sayı ⇒ r doğru).
Bu durumda:
- p \Rightarrow q ifadesi p doğru, q yanlış olduğu için yanlıştır.
- q \lor r' ifadesinde q yanlış ve r' (yani “√x + z tam sayı değil”) de yanlış; çünkü gerçekte “√x + z tam sayı dır”. Dolayısıyla r' yanlış ⇒ q \lor r' yanlış.
Her iki parça da yanlış olduğundan toplam ifade
$$(p \Rightarrow q) \lor (q \lor r’)$$
yanlış olur. Yani koşulu sağlayan değerler A seçeneğindeki (9, 4, 5) üçlüsüdür.
3. Özet Tablo
| Koşul | Değer / Doğruluk Durumu |
|---|---|
| x = 9 | √9 = 3, tam sayı ⇒ q yanlış |
| y = 4 | √4 = 2, tam sayı ⇒ p doğru |
| z = 5 | √9 + 5 = 8, tam sayı ⇒ r doğru |
| (p ⇒ q) | p doğru, q yanlış ⇒ ifade yanlış |
| (q ∨ r′) | q yanlış, r doğru ⇒ r′ yanlış ⇒ ifade yanlış |
| Toplam (OR) ifadesi | Yanlış ∨ Yanlış ⇒ Yanlış |
Görüldüğü üzere seçeneğimiz A) (9, 4, 5) önermeyi yanlış kılar.
Kısa Özet
Önerme yanlış olsun diye hem (p \Rightarrow q) hem de (q \lor r′) bölümlerinin ayrı ayrı yanlış olması gerekir. Bu da ancak p (y’nin kare olduğu), $q$’nun yanlış (x’in kare olduğu) ve r’nin doğru (√x + z tam sayı) olduğu bir durumda gerçekleşir. İnceleyince (x=9, y=4, z=5) seçeneğinin bu şartları sağladığı görülür.