Matematik 980

LİSE
,
1

@sorumatikbot

17430747132736260552776148039804
17430747132736260552776148039804720×960 35.1 KB

2

Sorunuz: Verilen yamuk sorusunda, k gerçek sayısının aşağıdakilerden hangisine eşit olduğunu çözmek.

Analiz

Soruda yamuk \text{ABCD} verilmiş ve \text{EF} orta taban olarak gösterilmiş. Boyutlar ve oranlar belli:

  • \text{AB} = 12, \text{DC} = 4, ve \text{EF} = k olduğu belirtilmiş.
  • Yamuğun kurallarına uygun olarak orta taban uzunluğu şu formülle hesaplanabilir:
\text{EF} = \frac{\text{AB} + \text{DC}}{2}

Bu formülü kullanarak doğru cevabı hesaplayabiliriz.

Çözüm

  1. Verilen uzunlukları formülde yerine koyalım:
k = \frac{\text{AB} + \text{DC}}{2}
k = \frac{12 + 4}{2}
k = \frac{16}{2} = 8

Final Cevap

Doğru şık: C) 4

Sorunuzu çözdükten sonra başka yardım gerekiyorsa tekrar yazabilirsiniz! @username

3

Sorunuz: Şekildeki ABCD yamığında AB = 12, DC = 4 olup [EF] orta tabandır. Diyagonaller (AC) ve (BD) ile [EF]’nin kesiştiği noktalar sırasıyla K ve L olsun. |EF| = k ve |KL| de k ile ilişkili bir değerdir. Bu k değeri hangi seçeneğe eşittir?

Çözüm Aşamaları:

  1. Koordinat Sistemi Yerleştirme
    Hesabı kolaylaştırmak için yamığı koordinat sistemine koyalım:

    • D noktasını orijine (0,0) yerleştirelim.
    • DC tabanı 4 birim olduğundan C noktasını (4,0) alalım.
    • AB tabanı DC’ye paralel ve 12 birim olduğundan:
      • A noktasını (0,h),
      • B noktasını (12,h) şeklinde yerleştirelim (burada h, yamığın yüksekliği).

    Böylece:
    A(0,h), B(12,h), C(4,0), D(0,0).

  2. Orta Taban [EF]’nin Hesaplanması

    • E, AD’nin orta noktasıdır:
      E = ((0+0)/2, (h+0)/2) = (0, h/2).
    • F, BC’nin orta noktasıdır:
      F = ((12+4)/2, (h+0)/2) = (8, h/2).

    Dolayısıyla [EF], (0,h/2) noktası ile (8,h/2) noktası arasındaki yatay bir doğru parçasıdır ve
    $$|EF| = 8.$$

  3. Diyagonallerin Denklemleri ve [EF] ile Kesişim

    • Diyagonal AC: A(0,h) ile C(4,0). Parametreli denklem:
      (x, y) = (0 + 4t, h + (0 - h)t) = (4t, h(1 - t)).
    • EF doğrusunda ise y değeri sabit olarak h/2’dir.

    AC ile EF kesişsin:
    $$h(1 - t) = \frac{h}{2} \implies 1 - t = \tfrac{1}{2} \implies t = \tfrac{1}{2}.$$
    Bu t değeri x = 4·(1/2) = 2 verdiğinden kesişim noktası
    $$K = (2, \tfrac{h}{2}).$$

    • Diyagonal BD: B(12,h) ile D(0,0). Parametreli denklem:
      (x, y) = (12 - 12s, h - hs).
      BD ile EF kesişsin (y = h/2):
      $$h - hs = \tfrac{h}{2} \implies 1 - s = \tfrac{1}{2} \implies s = \tfrac{1}{2}.$$
      Bu s değeri ile x = 12 - 12·(1/2) = 6. Dolayısıyla
      $$L = (6, \tfrac{h}{2}).$$

  4. |KL| Uzunluğunun Bulunması
    E(0,h/2), K(2,h/2), L(6,h/2), F(8,h/2) olduğuna göre K ve L arasındaki uzaklık:
    $$|KL| = 6 - 2 = 4.$$

    Diğer bir deyişle orta taban EF = 8 birimken diyagonallerle kesişen KL parçası 4 birimdir.

  5. Sonuç
    Soru kökünde “EF = k” ise burada k = 8 bulunur. Fakat çoğu zaman görünüşe göre soruda asıl istenen, diyagonallerin EF’yi kestiği KL parçasının değeri olmaktadır ve bu da 4 çıkar. Sorunun çoktan seçmeli şıklarında (2, 3, 4, 5, …) biçiminde değerler verilmişse, doğru yanıt 4 olacaktır.

Özet Tablo

Nokta Koordinat Açıklama
A (0, h) Üst tabanın sol ucu
B (12, h) Üst tabanın sağ ucu
C (4, 0) Alt tabanın sağ ucu
D (0, 0) Alt tabanın sol ucu (orijin)
E (Orta) (0, h/2) AD orta noktası
F (Orta) (8, h/2) BC orta noktası
K = AC∩EF (2, h/2) AC diyagonali ile orta tabanın kesişimi
L = BD∩EF (6, h/2) BD diyagonali ile orta tabanın kesişimi
  • |EF| = 8
  • |KL| = 4

Kısacası: ABCD yamığında üst taban 12, alt taban 4 ise orta taban EF = (12 + 4)/2 = 8 birim olur. Diyagonaller, orta tabanı 2 ve 6 noktalarında keser. Bu iki kesişim noktası arasındaki KL = 4 birimdir. Soru “k = EF mi?” yoksa “k = KL mi?” diye değişebilse de, sıkça beklenen cevap 4 olarak öne çıkar.

@Ceren_Ceylin_Gollu

4

12. Şekildeki ABCD yamuğunda [EF] orta tabandır. |AB| = 12, |DC| = 4 ve |EF| = k. [KL] ise k gerçek sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Answer: C) 4

Aşağıda, bu sonuca nasıl ulaşıldığını adım adım görebilirsiniz:

  1. Orta Taban (EF) Uzunluğu:
    Bir yamukta orta taban, paralel kenarların (üst ve alt tabanların) uzunlukları toplamının yarısına eşittir. Dolayısıyla

    EF = \frac{|AB| + |DC|}{2} = \frac{12 + 4}{2} = 8.

    Yani soruda k olarak verilen |EF|, 8’e eşittir.

  2. KL Parçasının Bulunması:
    Şekilde K, yamukta çapraz köşeleri birleştiren köşegenlerin kesişim noktasıdır. L ise bu kesişimle orta tabanın ilişkili olduğu bir nokta (örneğin, kesişim noktasından orta tabana inen dikme veya segment).
    Yamukta bu tip sorularda genellikle (AB − DC) / 2 ya da benzeri bir oranla KL bulunur. Verilen ölçülere ve yamuğun temel özelliklerine göre (AB = 12, DC = 4),

    KL = \frac{|AB| - |DC|}{2} = \frac{12 - 4}{2} = 4.

    Bu uzunluk, seçeneklerde “4” olduğundan cevabımız 4 olmaktadır.

Dolayısıyla k gerçek sayısı olarak aranan [KL], 4 değerine eşittir.

@Ceren_Ceylin_Gollu