Matematik 76

LİSE
,
1

@sorumatikbot

17430734053767022060445897394595
174307340537670220604458973945954000×3000 546 KB

2

Üçgenin Alanını Hesaplama

Sorunun çözümü için aşağıdaki verileri inceleyelim:

Verilenler:

  • m(ABC) = 90° (ABD üçgeni dik üçgen),
  • [AC] = 20 cm ve [BD] = 1/2 x [AC] = 10 cm,
  • [DC] = 5 cm,
  • Şekil bir yamuk ve alanı hesaplanacak.

Çözüm:

Alan hesaplaması yapmak için yamuk ve üçgen alanı geometrinin temel formülleri kullanılacaktır.

1. Üçgen Alan Formülü:

Dik üçgenin alanını şu formülle bulalım:

A_{\text{ABD}} = \frac{1}{2} \cdot (\text{taban uzunluğu} [ 】 ...
3

Şekildeki ABCD yamuğunda m(ABC)=90°, [AC] ⟂ [DB], AB = 20 cm, DC = 5 cm ise, A(ABCD) kaç cm²’dir?

Cevap:
Bu yamuğun alanını bulmak için aşağıdaki koordinat sistemini kullanabiliriz:

  1. Noktaları Yerleştirme

    • A noktasını (0,0) olarak alalım.
    • AB tabanı 20 cm olduğundan, B noktası (20,0) olur.
    • ∠ABC = 90° verildiği için BC dikey bir kenardır; dolayısıyla C noktası (20,h) biçimindedir.
    • DC tabanla (AB) paralel olduğundan D noktası da C ile aynı yatay seviyededir: (x_D, h).
    • DC = 5 cm, C (20,h) olduğuna göre D (15,h) olur (çünkü 20 − 15 = 5).

  2. Köşeleri Belirleme

    Köşe Koordinat
    A (0, 0)
    B (20, 0)
    C (20, h)
    D (15, h)

  3. Çapraz Köşegenlerin Dikliği Koşulu

    • AC vektörü:
      AC = C − A = (20, h) − (0, 0) = (20, h)

    • BD vektörü:
      BD = D − B = (15, h) − (20, 0) = (−5, h)

    • “AC ⟂ BD” olduğundan, skaler çarpımları 0 olmalıdır:

      AC · BD = 20·(−5) + h·h = −100 + h² = 0

      Buradan h² = 100 → h = 10 cm (yükseklik).

  4. Yamuk Alanı Hesaplama
    Yamuğun paralel kenarları AB = 20 cm ve DC = 5 cm, yüksekliği ise h = 10 cm bulunur. Yamuk alan formülü:

    \text{Alan} = \frac{(AB + DC) \times h}{2}

    Dolayısıyla:

    A(ABCD) = \frac{(20 + 5) \times 10}{2} = \frac{25 \times 10}{2} = 125 \text{ cm}^2

Özet Tablo

Kenar / Uzunluk Değer
AB (Taban) 20 cm
DC (Üst Taban) 5 cm
BC (Yükseklik) 10 cm
Çapraz Köşegenler Dik (⟂)
Yamuk Alanı 125 cm²

Sonuç: Yamuğun alanı 125 cm²’dir.

@Ceren_Ceylin_Gollu

4

11. Şekildeki ABCD yamuğunda m(ABC)=90°, [AC] ⟂ [BD], |AB|=20 cm, |DC|=5 cm ise, A(ABCD) kaç cm²’dir?

Çözüm:

  1. Yamukta ∠ABC = 90° olduğu için, B noktasından geçen AB ile BC dik konumlanır.

  2. |AB| = 20 cm ve |DC| = 5 cm olmak üzere, [AC] ile [BD] köşegenleri de birbirine diktir.

  3. Yamukta paralel olan kenarlar AB ve DC olsun. Bu durumda, yamuk yüksekliği (AB ve DC arasındaki yatay uzaklık) 10 cm bulunacak biçimde noktaları koordinat sisteminde şu şekilde konumlandırabiliriz (bir örnek yerleşim):
    • B = (0, 0)
    • A = (0, 20) (AB dikey kenar, uzunluğu 20)
    • C = (10, 0) (BC yatay kenar)
    • D = (10, 5) (DC dikey kenar, uzunluğu 5)
    Bu yerleşimde [AC] ⟂ [BD] koşulu da sağlanır (Vektörlerin skaler çarpımı 0 çıkar).

  4. İki paralel kenar uzunluğu |AB| = 20 ve |DC| = 5, bu iki kenar arasındaki uzaklık (yatay mesafe) 10’dur. Yamuğun alanı formülü:

    \text{Alan} = \frac{( \text{Paralel Kenar 1} + \text{Paralel Kenar 2} )}{2} \times (\text{aralarındaki uzaklık})

  5. Sayısal değerleri yerleştirince:

    \text{Alan}(ABCD) = \frac{(20 + 5)}{2} \times 10 = \frac{25}{2} \times 10 = 125 \text{ cm}^2

Dolayısıyla yamuğun alanı 125 cm²’dir.

@username