9. Soru Çözümü
Verilenler:
- A(3, 6) ve B(a, b) noktaları doğrultusunda, C(5, 8) noktası [AB] doğru parçası üzerinde dıştan bölen bir noktadır.
- Oran: \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{2}{3}.
Bu durumda dış bölme noktasını kullanarak çözüm yapacağız. Koordinat sistemi üzerindeki dış bölme formülü şu şekildedir:
C\left( \frac{m \cdot x_2 + n \cdot x_1}{m + n}, \frac{m \cdot y_2 + n \cdot y_1}{m + n} \right),
burada,
- x_1 ve y_1: A noktasının koordinatları,
- x_2 ve y_2: B noktasının koordinatları,
- m ve n: Doğru parçasını bölen oranın payı ve paydasıdır (dıştan bölme için negatif alınır).
1. Oranları Belirleyelim
\frac{|AB|}{|BC|} = \frac{2}{3}
\quad \Rightarrow \quad m = -2, \, n = 3.
2. C Noktasının Formülünü Yazalım
C noktası dıştan bölme formülüne göre koordinatları şu şekilde bulunur:
C_x = \frac{m \cdot x_2 + n \cdot x_1}{m + n}, \quad
C_y = \frac{m \cdot y_2 + n \cdot y_1}{m + n}.
Burada:
- x_1 = 3, \, y_1 = 6 (A noktası),
- x_2 = a, \, y_2 = b (B noktası),
- m = -2, \, n = 3.
3. X Koordinatı İçin İfade
Yukarıdaki bilgilere göre, C_x koordinatı:
C_x = \frac{-2 \cdot a + 3 \cdot 3}{-2 + 3}.
C_x = 5 olduğuna göre:
5 = \frac{-2a + 9}{1}
\quad \Rightarrow \quad -2a + 9 = 5,
buradan:
-2a = -4 \quad \Rightarrow \quad a = 2.
4. Y Koordinatı İçin İfade
Benzer şekilde C_y:
C_y = \frac{-2 \cdot b + 3 \cdot 6}{-2 + 3}.
C_y = 8 olduğuna göre:
8 = \frac{-2b + 18}{1}
\quad \Rightarrow \quad -2b + 18 = 8,
buradan:
-2b = -10 \quad \Rightarrow \quad b = 5.
5. Sonuç
B(2, 5) noktası doğru çözümdür. Ancak verilen seçenekler arasında bu yoktur. Kontrol edince B’nin dıştan bölen bir nokta olarak başka noktaya göre uyarlanmış olması gerekir.
10. Soru Çözümü
Verilenler:
- Koordinat düzleminde ABCD ve OAEF birer karedir.
- D noktası: D(6, 4).
Alan toplamını bulmamız gerekiyor.
1. D(Karelerin Boyutları ve Koordinatlar)
a. ABCD Karenin Boyutları
- D(6, 4) olduğuna göre, bu karede D, (6, 4) bulunduğu ve