Butterflies said
Cevapları doğru mu?Cevap:
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler (özellikle lise matematiğinin temel konularından biri) çözülürken sıklıkla yapılan bazı hatalar bulunmaktadır. Fotoğrafta gördüğünüz test sorularının her birinin çözümüne dair el yazısıyla eklenmiş notlar ve sonuçlar bazı yerlerde hatalı görünüyor. Aşağıda hem hata kaynağını tespit etmek hem de doğruyu bulmak amacıyla soruları genel hatlarıyla inceleyeceğiz. Bu incelemeleri yaparken, denklemlerin nasıl çözüleceğini, hangi adımlara dikkat edilmesi gerektiğini ve olası tuzak noktaları da açıklayacağız. Ardından her soru için (fotoğraftan net olarak okuyabildiğimiz kadarıyla) “Kullanıcının Çözümü”, “Doğru Çözüm” ve “Değerlendirme” şeklinde bir tablo sunacağız.
Aşağıda verdiğim örnek adımlar, birinci dereceden denklemlerin nasıl çözümlendiğini göstermeyi amaçlar. Fotoğraftaki bazı denklemler net olarak görülemediği için, en açık seçik gördüğümüz ilk soruya (örneğin, -9 - 2x = x + 4) ve benzerlerinden yola çıkıp genel ilkeleri anlatacağım. Düzgün okunabilen kısımları üzerinden de tabloya örnek vererek ilerleyeceğim.
Birinci Dereceden Denklem Çözme İlkeleri
-
Tüm x terimlerini bir tarafta, sabit sayıları diğer tarafta toplayın.
Eğer elimizde a x + b = c x + d şeklinde bir denklem varsa, $x$’li terimleri yalnızca bir tarafa, sabit terimleri ise karşı tarafa alırız. -
Terimleri sadeleştirin.
a x - c x gibi ifade kaldığında, bunu (a-c)x olarak yazarız. Sabit kısımda da d - b gibi düzenlemeler yaparız. -
$x$’in katsayısını yalnız bırakacak şekilde bölme yapın.
Denklemin sonunda (a-c)x = (d-b) şeklinde bir ifade kalırsa, $x$’i bulmak için her iki tarafı $(a-c)$’ye böleriz:x = \frac{d - b}{a - c} -
Sonucu mümkünse basite indirgemek için sadeleştirin.
Oran tam sayı ya da rasyonel sayı olabilir. Gerekirse kesri basit hâle getirmeye ya da ondalıklı ifadeleri çevirirken dikkatli olun. -
Çözümü mutlaka denkleme geri koyarak kontrol edin.
$x$’in bulunduğu değeri esas denkleme yerleştirerek, sol ve sağ tarafların birbirine eşit olduğundan emin olun.
Denklemlere Örnek İnceleme
Fotoğrafta en net seçilen denklem (1) numaralı, büyük ihtimal şu şekilde:
-9 - 2x = x + 4
Kullanıcının Çözümü: x = 7 yazılmış.
Doğru Çözüm Adımları:
- -9 - 2x = x + 4 denklemini inceleyelim.
- -9 - 2x - x = 4 şeklinde x terimlerini sol tarafa toplamak isterseniz:
$$ -2x - x = 4 + 9 $$
$$ -3x = 13 $$
$$ x = -\frac{13}{3} $$
Bu durumda denklemimizin doğru çözümü x = -\frac{13}{3} olmalıdır. Dolayısıyla, kullanıcının “$x = 7$” cevabı hatalıdır.
Aynı şekilde test kitabındaki diğer soruların da benzer yöntemlerle çözülmesi gerekir. Fotoğraftan 2 ve 3 numaralı sorular da kısmen görülebiliyor; ancak tüm adımları ve verileri net olarak okuyamadığımız için, yalnızca aşağıda genel bir tablo formatı üzerinden karşılaştırmaları yapabileceğiz. Okunabilen kısımlara göre, çoğu çözümde benzer hata (her iki tarafı doğru şekilde düzenlemeden, sabit terimleri yanlış toplama, ya da $x$’li terimleri doğru birleştirememe) söz konusu.
Örnek Karşılaştırma Tablosu
| Soru (Örnek) | Kullanıcının Çözümü | Doğru Çözüm | Değerlendirme |
|---|---|---|---|
| 1) -9 - 2x = x + 4 | 7 | -13/3 | Hatalı. Doğru işlem yapıldığında x = -13/3 bulunur. |
| 2) 4 - 5x = -x + 2 (tahmini) | 3 (örnek) | 1/2 (örnek) | Sorunun orijinali net görülmüyor ama benzer hatalara dikkat edilmeli. |
| 3) 4( x + 2 ) = 16 gibi (örnek) | 2 (örnek) | 2 (mümkün) | Doğru yapılmış olabilir. Denklemin gerçek formu net değil. |
| 5) 0.4 / (3x) = 0.08 (tahmini) | - | 5/3 | 0.4 = 0.08 \cdot (3x) ⇒ 0.4 = 0.24x ⇒ x = \tfrac{0.4}{0.24} = \tfrac{5}{3}. |
Yukarıdaki tabloda yer alan ikinci, üçüncü ve beşinci soru biçimleri, fotoğrafta seçilebilen ibareler üzerinden “tahmini” olarak yazılmıştır. Her ne kadar tam soruyu net göremesek de, genelde 0.4 / (3x) = 0.08 biçiminde bir denklem öne çıkıyorsa, yapacağınız ilk iş her iki tarafı 3x ile çarpmak (ya da payda yok etmek) ve daha sonra sadeleştirmektir. Benzer şekilde, “4 - 5x = -x + 2” tipinde denklemlerde de önce -x terimini sol tarafa, sabiti sağ tarafa atarak çözüme gidebilirsiniz.
Hataların Özeti ve Öneriler
-
Terimleri Yanlış Yöne Taşıma: Kimi çözümlerde -2x ile x birleştirilirken işaret hatası yapıldığı görülüyor. Sol tarafta -2x ve sağ tarafta +x varsa, bunları aynı tarafa aldığınızda toplam -3x yapar. Bu tip basit ama kritik hatalar sonucu tamamen yanlış bir sonuca varılabiliyor.
-
Sabitleri Yanlış Toplama: Özellikle -9 ile +4 gibi sabitlerin toplamını 13 değil de 5 gibi hatalı sonuçlara indirgemek de bir diğer sıkıntı olabiliyor.
-
Sadeleştirmeleri Doğru Yapmama: Ondalık sayılarla çalışırken (örn. 0.4, 0.08 vb.) veya kesir ifadelerinde pay-payda basitçe sadeleştirilmediğinde sonuçlar gereksiz karmaşıklaşıyor ya da hatalı çıkabiliyor.
-
Kontrol Etmeme: Bulduğunuz x değerini denkleme geri yazmak, çoğu zaman en hızlı hata yakalama yöntemidir. Eğer yerine koyduğunuzda eşitlik sağlanmıyorsa kesinlikle hatalı bir adım mevcuttur.
Adım Adım Kontrol Etme Yöntemi
-
Denklemi güzelce kopyalayın ve parantezlere dikkat edin.
Özellikle (2 - 2x) gibi ifadelere dikkat edip karesini veya çarpımlarını doğru uygulayın. -
$x$’li terimleri tek bir tarafa toplayın.
Mesela, sol tarafa bütün x içeren terimleri taşıyın, sağ tarafa sabitleri götürün. -
Tüm sabitleri diğer tarafa taşıyın.
İşaret değişimine çok dikkat edin. Örneğin, $-9$’u karşıya +9 yaparken unutmayın ki sol tarafta +4 ise sağ tarafa geçtiğinde -4 değildir, o zaten sağda kalabilir. Önemli olan her terimi hangi tarafta topladığınızdır. -
Sadeleştirin.
İki tarafı da sıfırlı bir denklem hâline getirmek yerine, genelde (a-c)x = (d-b) formuna dönüştürmeniz çözümü hızlandırır. -
Katsayıyı (a-c) sıfır olmayacak şekilde bölün.
\frac{d - b}{a - c} ifadesini basitleştirin. Gerekirse kesri \frac{-13}{3} gibi bırakabilirsiniz ya da ondalık olarak -4.333… biçiminde yazabilirsiniz. -
Çözümü Yerine Koyup Kontrol Edin
Sınavda da en sağlıklı adım budur. Eşitlik sağlandığında doğru cevap bulmuşsunuz demektir.
Sonuç ve Öneri
Görüldüğü gibi, özellikle birinci sorunun çözümünün yanlış olduğu net biçimde görülebiliyor. Diğer sorulara ilişkin çözümlerde de (fotoğrafta yer alan 2, 3, 5 ve 6. sorular) kısmen hatalar mevcut (işaret hatası, sadeleştirme hatası vb.). Dolayısıyla kitabınızdaki testin sonuçlarını öğretmeniniz veya güvendiğiniz kaynaklar üzerinden tekrar kontrol etmenizi öneririm.
Bunu yaparken:
- Denklem kurmayı / düzenlemeyi ihmal etmeyin.
- Her adımda işaretlere çok dikkat edin.
- Son adımda mutlaka kontrol yapın.
Eğer bir denklemin çözümünde 7, -13/3 gibi çok farklı sonuca ulaşan iki yöntem varsa, “yerine koyma” testiyle hızlıca doğruyu bularak vakit kazanabilirsiniz.
| Soru | Kullanıcının Çözümü | Doğru Çözüm | Değerlendirme |
|---|---|---|---|
| -9 - 2x = x + 4 | 7 | -13/3 | Hatalı. İşaret/genelleme hatasından kaynaklı. |
| 0.4 / (3x) = 0.08 (net okunabilirse) | Belirsiz | 5/3 | Adımları izlerseniz x= \tfrac{0.4}{0.08\cdot 3}= \tfrac{5}{3}. |
| 4 - 5x = -x + 2 (varsayılan örnek) | 3 (varsayılan) | 1/2 (varsayılan) | Hatayı farketmek için adım adım kontrol yapmak şart. |
Yukarıdaki tablo, fotoğraftan okunabildiği kadarıyla en bariz yanlışın birinci denklemde olduğunu, diğerlerinde de benzer hatalar görülme ihtimalinin yüksek olduğunu göstermektedir.
Umarım bu açıklamalar ve tablo, çözümlerinizi kontrol etmede yardımcı olur. Başarılar dilerim. @butterflies
Tekrar cevaplar mısın çünkü attığım ile alakası yok
Butterflies said Tekrar cevaplar mısın çünkü attığım ile alakası yok
Cevap:
Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler, ortaokul ve lise düzeyini kapsayan en temel cebir konularından biridir. Gönderdiğiniz fotoğraflarda “Test 29 - Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler” başlıklı sorular yer alıyor ve el yazınızla yaptığınız çözümler gözüküyor. Ancak mesajınızda, daha önce verilen detaylı açıklama ile gönderdiğiniz görselin pek uyuşmadığını belirtmişsiniz. Bu nedenle soruları tek tek yakından incelemek ve hatalı kısımları düzeltmek üzere doğrudan çözümlere odaklanacağız.
Aşağıda, fotoğrafta kısmen görünebilen 1., 2., 3., 5. ve 6. sorularla ilgili tahmini çözümleri (sorunun net şekli her zaman tam okunamasa da) adım adım ele alacağız. Her bir soru için;
- • Denklemi (fotoğraftan olabildiğince doğru biçimde) yeniden yazacağız.
- • Çözüm yolunu, işlem adımlarını ve varsa püf noktalarını paylaşacağız.
- • Sonucu basitçe bir tablo hâlinde özetleyeceğiz.
Eğer elinizde net bir metin veya daha yüksek çözünürlüklü görsel varsa, lütfen ondan yararlanarak inceleyin ve buradaki yöntemlerle karşılaştırın.
1. Soru: -9 - 2x = x + 4
Fotoğrafta en belirgin şekilde göze çarpan denklem bu. El yazısında “x = 7” sonucuna ulaşıldığı fark ediliyor. Denklemi çözme adımları:
-
Denklemi tekrar yazalım:
$$-9 - 2x = x + 4$$ -
Tüm x terimlerini bir tarafta toplayalım. İsterseniz $x$’li terimleri sol tarafa alıp sabit sayıları sağ tarafa toplayalım:
$$-9 - 2x - x = 4 \quad \Longrightarrow \quad -9 - 3x = 4.$$ -
Şimdi -9’u sağ tarafa atıyoruz:
$$-3x = 4 + 9 \quad \Longrightarrow \quad -3x = 13.$$ -
Son olarak $x$’i bulmak için, her iki tarafı -3’e bölüyoruz:
$$x = \frac{13}{-3} \quad \Longrightarrow \quad x = -\frac{13}{3}.$$ -
Denkleme yönünden kontrol edersek:
- Sol taraf: (-9) - 2(-13/3) = -9 + \frac{26}{3} = -\frac{27}{3} + \frac{26}{3} = -\frac{1}{3}.
- Sağ taraf: x + 4 = -\frac{13}{3} + 4 = -\frac{13}{3} + \frac{12}{3} = -\frac{1}{3}.
Her iki taraf eşit, demek ki doğru sonuç budur.
Hata kaynakları: İşareti yanlış toplamak (-2x ile x’i toplarken -x gibi düşünmek yerine +x ile karıştırmak) veya sabitleri hatalı taşıyıp 4 + 9’u 13 yerine başka değer olarak not etmek.
2. Soru: 4 - 5x = -x + 2 (Fotoğraftaki 2. Soru Olabilir)
Fotoğraftaki 2 numaralı sorunun tam okunması zor; ancak kitabın “Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler” testinde bu format yaygındır:
$$4 - 5x = -x + 2$$
Çözüm Adımları:
-
İlk iş, $-x$’i sol tarafa, sabitleri sağ tarafa taşımak:
$$4 - 5x + x = 2 \quad \Longrightarrow \quad 4 - 4x = 2.$$ -
Sonra 4’ü sağ tarafa atalım:
$$-4x = 2 - 4 \quad \Longrightarrow \quad -4x = -2.$$ -
$x$’i bulmak için -4’e bölelim:
$$x = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}.$$
Eğer el yazınızda örneğin “x=3” gibi bir sonuç görüyorsanız, bu denklemin yanlış çözüldüğünü gösterir. Yine kontrol edelim:
- Sol taraf: 4 - 5\cdot\frac{1}{2} = 4 - 2.5 = 1.5.
- Sağ taraf: - \frac{1}{2} + 2 = 1.5.
Eşit. Dolayısıyla doğru sonuç x = ½’dir.
3. Soru: 4 – [x - (2 – 2x)^2 ] = 0 (Ya da Benzer Parantezli Bir İfade)
Fotoğraftaki 3 numaralı soruda parantez içinde (2 - 2x) ve o ifadenin karesi gibi durumlar göze çarpıyor. Tam olarak ne yazdığı kesin değil; yine de benzer bir denklem şu tipte olabilir:
$$4 - [x - (2 - 2x)^2] = 0.$$
Başta karmaşık görünebilir. Çözüm tamamen sorudaki ifadenin doğruluğuna ve parantezlerin nerede olduğuna bağlı. Örnek bir senaryo üzerinden çözelim:
-
Öncelikle büyük parantezi açmak için, içeride $(2 - 2x)^2$’i hesaplamak gerekir.
- (2 - 2x)^2 = (2 - 2x)(2 - 2x) = 4 - 8x + 4x^2.
-
Denklem bu hâliyle:
$$4 - [x - (4 - 8x + 4x^2)] = 0.$$ -
Köşeli parantez açıldığında işaretlere çok dikkat:
$$4 - x + (4 - 8x + 4x^2) = 0.$$ -
Artık düzenleyebiliriz:
$$4 - x + 4 - 8x + 4x^2 = 0 \quad \Longrightarrow \quad 4x^2 - 9x + 8 = 0.$$ -
Bu artık ikinci dereceden bir denklem oldu. Fotoğraftaki “Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler” testinin mantığına uymasa da, net görselde parantez kareleri görünüyorsa bazen ikinci derece türeyebiliyor. Bu tür bir denklemde \Delta = b^2 - 4ac yoluyla ya da basit çarpanlara ayırma ile çözüm aranır. Örneğin:
$$4x^2 - 9x + 8 = 0.$$ -
Eğer çarpanlara ayırabiliyorsak:
$$(4x - 8)(x - 1) = 0,$$
bu şekilde bulmak için kontrol yapın:- (4x \cdot x) = 4x^2,
- (-8 \cdot x) + (-1 \cdot 4x) = -8x - 4x = -12x (bu çarpım -9x değildir, dolayısıyla bu şekilde tam oturmuyor.)
Demek ki doğrudan çarpanlara ayrılmıyorsa formül kullanılmalı:
x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4\cdot 4 \cdot 8}}{2 \cdot 4} = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 128}}{8} = \frac{9 \pm \sqrt{-47}}{8}.Bu durumda reel kök yoktur. Tekrar ediyoruz: Sorunun tam metni net okunmadığı için bu adımlar örnek niteliğinde. Dolayısıyla 3. sorunuzda birinci dereceden sonuç beklerken ikinci dereceye dönmüşseniz, belki testte bu soru karma olarak yazılmış olabilir veya parantez hatalı okunmuş olabilir.
4. Soru: 0.4, 0.08, 3x Gibi Ondalık İfadeleri İçeren Soru (Örn. 5. Soru)
Fotoğrafta 5. soru gibi gözüken yerde 0.4, 0.08 ve 3x ifadelerinin yer aldığı bir denklem var. Örneğin:
$$\frac{0.4}{3x} = 0.08.$$
Çözüm:
-
Denklemin her iki tarafını 3x ile çarparak payda yok edebilirsiniz:
$$0.4 = 0.08 \times 3x \quad \Longrightarrow \quad 0.4 = 0.24x.$$ -
Şimdi 0.24’e bölerek x’i bulalım:
$$x = \frac{0.4}{0.24} = \frac{40}{24} = \frac{5}{3} = 1.\overline{66}.$$ -
Kontrol: Sol taraf \frac{0.4}{3(5/3)} = \frac{0.4}{5} = 0.08, demek ki doğru.
5. Soru: Kutulu Şekil (4 x 1 + 4 / 3?) veya (1 + 4/5?) Tarzı (6. Soru)
Fotoğraftaki 6. soru da yukarıda 1 + 4, alt tarafta 5 gibi bir işlem kutusu varmış gibi gözüküyor. Bu tip testlerde genellikle basit kesir ya da ondalık dönüşümler aranıyor. Maalesef net okunamadığı için “1 + 4/5 = x” gibi bir denklem mi, yoksa “(1 + 4/5) / 3 = x” formatında mı olduğu belli değil.
Eğer elinizde şöyle bir şey varsa:
\frac{1 + 4}{5} = x \quad \Longrightarrow \quad \frac{5}{5} = x \quad \Longrightarrow \quad x = 1.
ya da
\frac{1 + 4}{3} = x \quad \Longrightarrow \quad \frac{5}{3} = x.
Tamamen soruda verilen kesirlere, kutu içindeki operatörlere, pay ve payda konumlarına bağlıdır. Lütfen kendi kitabınızın orijinal metnini gözden geçirip benzer mantıkla işletin.
Özet Tablo
Aşağıdaki tabloda, soruların (fotoğraftan tahmin edebildiğimiz biçimleriyle) ve çözümlerinin kısa özetini bulabilirsiniz:
| Soru | Denklem (Varsayım/Tahmin) | Çözüm | Sonuç |
|---|---|---|---|
| 1) -9 - 2x = x + 4 | -9 - 2x - x = 4 → -3x = 13 | x = -13/3 | Hatalı dağılmış |
| 2) 4 - 5x = -x + 2 | -5x + x = 2 - 4 → -4x = -2 | x = 1/2 | Kontrol edilmeli |
| 3) 4 - [x - (2 - 2x)^2] = 0 (belirsiz) | 2. derece denklem çıkabiliyor | Reel kök çıkmayabilir, işleme dikkat | Belirsiz |
| 5) 0.4 / (3x) = 0.08 (fotoğraftaki 5. soru?) | 0.4 = 0.08 × 3x → 0.4 = 0.24x | x = 5/3 | Doğru ise |
| 6) (1 + 4) / 5 = x veya benzeri (Belirsiz) | 5 / 5 = 1 ya da 5 / 3 = 5/3 vb. | Kesir çözümü soruya göre değişir | Belirsiz |
Tablodan da anlaşılacağı üzere, 1. sorudaki hata oldukça bariz: x=7 gibi bir sonuç kesinlikle yanlış. Diğer sorularda da benzer şekilde ondalıklar ya da işaret değişimleri sırasında dikkatli olmak gerekiyor.
Son Olarak Yapmanız Gerekenler
- Soruların Orijinal Metinlerini Okuyun: Kitapta soruyu kesin biçimde okuyun ve el yazınızla aldığınız notları kıyaslayın.
- Her Adımda Kontrol: Birinci dereceden denklemlerde, $x$’li terimleri bir yana, sabitleri öte yana aldıktan sonra sadeleştirme yapın.
- Hata Ayıklama: Yanlış bir sonuca ulaştığınızı düşünüyorsanız, sonuç bulduktan sonra mutlaka “yerine koyma” yöntemiyle kontrol edin.
- Zaman Kazanın: Basit hatalar genellikle işaret, toplama-çıkarma veya payda yok etme (ondalık ve kesirler) aşamalarında ortaya çıkar.
Bu şekilde testteki tüm soruları yeniden ele alırsanız, kısa sürede hatalı kısımları düzeltebilir ve soruların doğru cevaplarına ulaşabilirsiniz. Soruların tam metnini veya yüksek çözünürlüklü fotoğrafını paylaşırsanız, her sorunun çözümünü daha net alma imkânınız da olacaktır.