Matamatik konusu soru

Dört basamaklı 5x4y doğal sayısı 6 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre x - y farkının 2 olması için, x + y toplamı kaç olmalıdır?

Doruk_Elmaagaclioglu’nun Sorusu: Dört basamaklı 5x4y doğal sayısı 6 ile tam bölünebilmektedir. Buna göre x - y farkının 2 olması için, x + y toplamı kaç olmalıdır?

Cevap:

Adım 1: 6 ile Tam Bölünebilme Koşulu

Bir sayının 6 ile tam bölünebilmesi için, hem 2 hem de 3 ile tam bölünebilmesi gerekir:

  1. 2 ile bölünebilme: Sayının son hanesi olan y, çift bir rakam olmalıdır. Yani y = 0, 2, 4, 6, veya 8 olabilir.
  2. 3 ile bölünebilme: Sayının tüm rakamlarının toplamı 3’ün katı olmalıdır. Yani, 5 + x + 4 + y toplamı 3’ün katı olmalıdır.

Adım 2: x - y Farkı ve Hesaplamalar

Verilen bilgiye göre, x - y farkı 2 olmalıdır. Buradan x = y + 2 elde ederiz.

Adım 3: Rakam Toplamının 3 ile Bölünebilmesi

Toplam: 5 + x + 4 + y = 9 + x + y’dir. Bu toplam 3’ün katı olmalıdır.

Adım 4: İfadeleri Yerine Koymak

Elimizde x = y + 2 olduğu için, bu ifadeyi yerine koyabiliriz:

  • 9 + (y + 2) + y = 11 + 2y. Bu toplamın 3’ün katı olması gerekiyor. Yani 11 + 2y ≡ 0 (mod 3) olmalıdır.

Adım 5: Y Değerlerini Deneyerek Çözüm Bulmak

y çift sayı olmalı: 0, 2, 4, 6, 8 değerlerini sırayla deneriz:

  • y = 0: 11 + 2*0 = 11 mod 3 ≡ 2 (olmaz)
  • y = 2: 11 + 2*2 = 15 mod 3 ≡ 0 (uygun)
  • y = 4: 11 + 2*4 = 19 mod 3 ≡ 1 (olmaz)
  • y = 6: 11 + 2*6 = 23 mod 3 ≡ 2 (olmaz)
  • y = 8: 11 + 2*8 = 27 mod 3 ≡ 0 (uygun)

Adım 6: Uygun x ve y Değerlerinden x + y Toplamlarını Bulmak

  1. y = 2 için x = y + 2 = 4, dolayısıyla x + y = 4 + 2 = 6.
  2. y = 8 için x = y + 2 = 10 olabilir ancak x bir rakam olmalıdır (0-9 arası), bu durum geçersizdir.

Bu durumda sadece y = 2 ve x = 4 kombinasyonu geçerlidir.

Sonuç:

x - y farkının 2 olması için ve sayının 6 ile tam bölünebilmesi koşullarını sağlayan en uygun çözüme göre, x + y toplamı 6 olmalıdır.