Mat yazılı 99

YKS TYT
1

IMG_20250102_202852
IMG_20250102_2028523060×4080 361 KB

2

cos2x - 7cosx - 3 = 0 denkleminin ([0, 2\pi]) aralığında kaç tane kökü vardır?

Cevap:

Adım 1: Özdeşlikleri Kullanma

Öncelikle, (\cos 2x) terimini açarak denklemi sadeleştirebiliriz. Cosine açılımı özdeşliğini kullanarak:

\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1

Bu özdeşliği denkleme ekleyelim:

2 \cos^2 x - 1 - 7 \cos x - 3 = 0

Bu denklemi yeniden düzenleyelim:

2 \cos^2 x - 7 \cos x - 4 = 0

Adım 2: Yeni Değişkenle Çözme

(y = \cos x) değişkenini tanımlayarak denklemi ikinci derece denkleme çevirelim:

2y^2 - 7y - 4 = 0

Adım 3: Diskriminantı Kullanarak Çözümleri Bulma

Bu bir ikinci derece denklemdir. Çözümleri bulmak için diskriminant ((D)) kullanılır:

D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4)
D = 49 + 32 = 81

Diskriminant pozitif olduğundan iki farklı gerçek çözüm vardır. Şimdi çözümleri bulalım:

y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 9}{4} = 4
y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{1}{2}

Adım 4: Cosinüs Değerlerini Kontrol Etme

(\cos x) değeri ([-1, 1]) aralığında olmalıdır. (y_1 = 4) bu aralıkta olmadığından, bu çözümü yok sayarız. Ancak (y_2 = -\frac{1}{2}) geçerli bir çözümdür.

Adım 5: Geçerli Çözüm İçin x Değerini Bulma

(\cos x = -\frac{1}{2}) olduğunda, ([0, 2\pi]) aralığında uygun açı değerlerini bulalım:

[
x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}
]

Sonuç

Denklemin ([0, 2\pi]) aralığında 2 adet kökü vardır.

Final Cevap:

Denklemin ([0, 2\pi]) aralığında 2 tane kökü vardır.