Soru: Bu çubuğa toplamda 20 tane halka takılabildiğine göre, sadece siyah halkalardan en fazla kaç tane takılabilir?
Çözüm:
Soruyu anlamak için verilen bilgileri adım adım analiz edelim:
Verilen Bilgiler:
- Çubuğun uzunluğu 9 cm = 90 mm (Çünkü 1 cm = 10 mm’dir).
- Siyah halkaların kalınlığı [2x - 1] mm, gri halkaların kalınlığı ise [x + 1] mm olarak ifade edilmiş.
- Halka dizilimi her zaman gri, siyah, gri, siyah… şeklinde olacak.
- Toplam takılabilecek halka sayısı 20 dir.
- Halkaların toplam yüksekliği çubuğun uzunluğunu (90 mm) geçmemeli.
Eşitlik Kurma:
x değerini belirlemek için toplam 20 halkanın dizilim düzenine dikkat edelim:
- 20 halka, 10 siyah + 10 gri halkası şeklinde dizilecektir (çünkü gri ve siyahlar sırayla takılır).
Bu 20 halkanın toplam yüksekliğini hesaplayalım:
-
Toplam Siyah Halka Yüksekliği:
Siyah halka sayısı 10 ise, toplam yüksekliği:
$$ 10 \cdot (2x - 1) = 20x - 10 , \text{(mm)} $$ -
Toplam Gri Halka Yüksekliği:
Gri halka sayısı da 10 ise, toplam yüksekliği:
$$ 10 \cdot (x + 1) = 10x + 10 , \text{(mm)} $$ -
Toplam Yükseklik = Siyah Halkalar + Gri Halkalar:
Yüksekliğin çubuğun boyunu aşmaması gerektiği için:(20x - 10) + (10x + 10) \leq 90Bu denklemi sadeleştirelim:
30x = 90 \implies x = 3
Halkaların Yüksekliğini Belirleme:
Bulduğumuz x = 3 değerini siyah ve gri halkaların yükseklik formüllerine yerleştirelim:
-
Siyah halkaların yüksekliği:
$$ 2x - 1 = 2(3) - 1 = 5 , \text{mm} $$ -
Gri halkaların yüksekliği:
$$ x + 1 = 3 + 1 = 4 , \text{mm} $$
Halka Sayılarıyla İlgili Kontrol:
-
Bir siyah + bir gri halka toplamda:
$$ 5 , \text{(Siyah)} + 4 , \text{(Gri)} = 9 , \text{mm} $$ -
Bu sıralama ile 10 siyah + 10 gri halkadan oluşan toplam 20 halka takıldığında:
$$ 10 \cdot 9 = 90 , \text{mm (Çubuğun boyunu tam kaplıyor)} $$
Sorunun Amacı:
Sadece siyah halkalardan en fazla kaç tane takılabilir?
- Eğer sadece siyah halkalar takılırsa, her bir siyah halka 5 mm olduğundan:
$$ 90 \div 5 = 18 , \text{(siyah halka)} , \text{takılabilir.} $$