Görselde paylaşılan mantık sorularına dair destek sağlayabilirim. Lütfen hangi sorunun çözümüyle ilgili yardım istediğinizi belirtiniz. Adım adım çözerek detaylı bir açıklama sunabilirim.
Sorular şunlar:
- Birinci soruda önerme doğruluk durumu “her zaman 1” olan seçeneği arıyoruz.
- İkinci soruda, verilen önermelerin yanlış olduğu durumda her zaman doğru olan seçeneği belirlemek gerekiyor.
- Üçüncü soruda “p, q ve r” önermelerinin doğruluk değerleriyle ilgili seçeneklerden biri seçilecek.
Yanıtlamamı istediğiniz bir soruyu seçerseniz, detaylı çözüm ve açıklama sağlayabilirim. 
@Nazar1
Mantıksal Önerme Soruları
Merhaba! Paylaştığınız görsellerde birden fazla mantık sorusu yer alıyor. Aşağıda, en sık sorulan iki sorunun (1 ve 2 numaralı sorular) çözümüne dair adım adım açıklamalar bulabilirsiniz. Sorunuzun devamındaki diğer maddeler için de benzer bir mantıkla yaklaşabilirsiniz.
Soru 1
p: “x = 0”
q: “x + y = 0”
r: “x·y = 0”
Verilen önermeler ışığında, “Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisinin doğruluk değeri her zaman 1’dir?” sorusu. Şıklar:
A) r ⇒ p
B) q ⇒ p
C) p ⇒ r
D) r ⇒ q
E) p ⇒ q
Çözüm
- p önermesi “x = 0” diyor.
- q önermesi “x + y = 0” diyor (x + y’nin 0 olması pek çok durumda x = -y anlamına gelir; sabit bir kesinlik yoktur).
- r önermesi “x·y = 0” diyor (çarpımın 0 olması için x = 0 veya y = 0 ya da her ikisi 0 olmalı).
Burada “her zaman 1 (doğru)” olması beklenen koşullu önermeyi arıyoruz.
- (p ⇒ r) ifadesine bakarsak: p doğruysa (yani x = 0 ise), o zaman x·y = 0 otomatik olarak doğru olur (çünkü x zaten 0’dır, x·y kesin 0’dır). Dolayısıyla p doğru iken r de mutlaka doğrudur. p yanlışsa (yani x ≠ 0) bir koşullu önermenin doğruluk değerini 0 yapmaz (koşullu önermede öncül yanlışsa tüm ifade 1 kabul edilir). Bu nedenle “p ⇒ r” ifadesi her durumda 1 çıkar.
Cevap: (C) seçeneği p ⇒ r.
Soru 2
a, b ve c tam sayılar olsun.
p: “a·b < 0”
q: “b·c > 0”
r: “c < 0”
r ⇒ (p ∨ q) önermesi yanlış (0) olarak veriliyor. Yani r doğru, (p ∨ q) yanlış.
Analiz
- r doğru ⇒ “c < 0” kesinlikle doğru.
- (p ∨ q) yanlış ⇒ p yanlış ve q yanlış.
- p yanlış ⇒ “a·b < 0” ifadesi yanlış olduğundan, a·b ≥ 0 olur.
- q yanlış ⇒ “b·c > 0” ifadesi yanlış olduğundan, b·c ≤ 0 olur.
Ek olarak c < 0 (r doğru), b·c ≤ 0 olduğuna göre:
- b eğer pozitif ise b·c negatif olur (c negatif). Bu q’yu “b·c > 0” yapmaz, dolayısıyla q yanlış. Uygun.
- b eğer 0 ise b·c = 0 (yine q yanlış).
Yani b ≥ 0 (0 veya pozitif).
p yanlış: a·b ≥ 0
- b = 0 ise a·b = 0 ≥ 0 (uyar).
- b > 0 ise a ≥ 0 olmalıdır ki a·b ≥ 0 olsun. Dolayısıyla a ≥ 0, b ≥ 0, c < 0.
Bu şartları sağlayan a, b, c için “Aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?” deniyor.
A) a + b < 0
B) a < b
C) a·b < 0
D) b·c > 0
E) a·b·c ≤ 0
Kontrol edelim:
- (A) a + b < 0: a ve b ikisi de ≥ 0 ise a+b < 0 olamaz. Yanlış.
- (B) a < b: a, b ikisi de 0 olabilir veya a = b olabilir, “her zaman” doğru diyemeyiz.
- (C) a·b < 0: a, b ≥ 0 ise çarpım negatif olmaz, yanlış.
- (D) b·c > 0: b ≥ 0, c < 0 ⇒ b·c ≤ 0. Yani bu da yanlış.
- (E) a·b·c ≤ 0: a·b ≥ 0 ve c < 0 ⇒ sonuç da (a·b)·c ≤ 0 (negatif veya 0). Her zaman doğrudur.
Cevap: (E) “a·b·c ≤ 0”.
Notlar ve İpuçları
- Koşullu önermelerde p ⇒ q şu şekilde yorumlanır:
- Eğer p doğru ise q’nun da doğru olması gerekir ki önerme 1 olsun.
- p yanlışsa (p ⇒ q) önermesi otomatik 1 (doğru) kabul edilir.
- “(p ∨ q) yanlış” demek, p’nin de q’nun da yanlış olması anlamına gelir.
- Birden fazla önermeden oluşturulan bileşik önermeyi “her zaman doğru” (tautology) yapabilmek için, varsayımlara göre her durumda mantık 1 çıkmalıdır.
Sorularınızın geri kalanında da aynı mantıkla “p, q, r” önermelerinin hangi değerlerde 0 ya da 1 olduğunu, koşullu önermenin ( ⇒ ) nasıl çalıştığını, “her zaman doğru” veya “her zaman yanlış” sonuçların nasıl elde edildiğini sistemli biçimde inceleyebilirsiniz.
Mantık Soruları ve Çözümleri
Soru (Resimde Verilenler):
-
p, q, r önermeleri:
• p: “x = 0”
• q: “x + y = 0”
• r: “x * y = 0”Buna göre, aşağıdaki önermelerden hangisinin doğruluk değeri her zaman 1’dir?
A) r ⇒ p
B) q ⇒ p
C) p ⇒ r
D) r ⇒ q
E) p ⇒ q -
a, b ve c tam sayılardır.
• p: “a·b < 0”
• q: “b·c > 0”
• r: “c < 0”Verilen önermede r ⇒ (p ∨ q) yanlış olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
A) a + b < 0
B) a < b
C) a - b < 0
D) b·c > 0
E) a·b·c ≤ 0 -
p, q ve r önermeleri için:
• p ⇒ q = 0 (yani p⇒q ifadesi yanlış)
• p ∨ r = 1 (yani p veya r ifadesi doğru)Olduğuna göre p, q ve r önermelerinin doğruluk değerleri sırası ile hangisidir?
İçindekiler
- Mantık Önermelerine Giriş
- Soru 1’in Adım Adım Çözümü
- Soru 2’nin Adım Adım Çözümü
- Soru 3’ün Adım Adım Çözümü
- Örnek Doğruluk Tablosu ve Genel Bakış
- Ek Mantık Bilgileri ve Kavram Açıklamaları
- Tablolarla Özet
- Çözümün Geniş Özeti
1. Mantık Önermelerine Giriş
Mantık, matematiksel düşüncenin temel yapı taşlarından biridir. Basitçe söylemek gerekirse mantık, belirli önermelerin “doğru” (1) veya “yanlış” (0) oluşunu inceleyen bir sistemdir. Bu sistemde:
- Bir önermenin yalnızca doğru veya yanlış olmasından bahsedilir.
- p ⇒ q şeklinde yazılan koşullu ifade “p ise q” anlamına gelir ve yalnızca p doğruyken q’nun yanlış olması durumunda (p=1, q=0) yanlış olur. Diğer durumlarda doğrudur.
- p ∨ q “p veya q” anlamına gelir. Bu ifade, p ve q’dan en az biri doğru olduğunda 1 değerini alır. Her ikisi de yanlışsa (p=0, q=0) 0 değerini alır.
Günlük hayatta ve matematikte önermeler arasında bağ kurmak, karmaşık problemleri sadeleştirerek daha anlaşılır hale getirmeyi sağlar. Aşağıdaki sorular da bu tür mantıksal ilkelerin kullanılmasına örnek niteliğindedir.
2. Soru 1’in Adım Adım Çözümü
Soru 1’de verilen önermeler:
- p: “x = 0”
- q: “x + y = 0”
- r: “x * y = 0”
Ve bu üçünden hareketle “Aşağıdakilerden hangisinin doğruluk değeri her zaman 1’dir?” diye soruyor. Seçenekler: r ⇒ p, q ⇒ p, p ⇒ r, r ⇒ q, p ⇒ q.
2.1. Önermelerin İncelenmesi
- p: x=0
- p doğru ise x kesinlikle 0’dır.
- q: x + y=0
- q doğru ise y = -x demektir.
- r: x*y=0
- r doğru ise, ya x=0 ya da y=0 veya her ikisi de 0’dır.
2.2. p ⇒ r’ nin Doğruluğu
Seçenekleri mantıksal açıdan teker teker inceleyelim, ancak soru metninde doğru seçeneğin C) p⇒r olduğu işaretlenmiş. Bunu doğrulayalım:
- p ⇒ r: “Eğer x=0 ise x*y=0 olur.”
- x=0 iken, hangi y değeri olursa olsun, x*y=0 elde edilir. Dolayısıyla p doğru olduğunda r kesinlikle doğru.
- p yanlış olduğunda (yani x=0 değilse) koşullu ifade (p⇒r) kendi içinde otomatik olarak doğru kabul edilir (koşullu önerme, sadece p=1, q=0 durumunda yanlıştır).
- Sonuç: “p doğru ise r da doğrudur” ifadesi her zaman doğrudur. Dolayısıyla p ⇒ r mutlaka 1 değerini alır.
Bu nedenle soru 1’in cevabı C) p ⇒ r’dir.
3. Soru 2’nin Adım Adım Çözümü
Soru metninde:
- a, b, c birer tam sayı.
- p: “$a\cdot b < 0$”
- q: “$b\cdot c > 0$”
- r: “$c < 0$”
- Verilen önermede: r \Rightarrow (p \lor q), ancak bu önermenin “yanlış” olduğu ifade ediliyor.
Bu bilgi ışığında, “Hangisi her zaman doğrudur?” diye soruluyor.
3.1. r ⇒ (p ∨ q) İfadesinin Yanlış Olması
Bir koşullu ifade A \Rightarrow B ancak ve ancak A doğru, B yanlışsa “yanlış” olur. Yani:
- r \Rightarrow (p \lor q) yanlış ise
- r doğrudur (yani c < 0)
- (p \lor q) yanlıştır
(p \lor q) ‘nin yanlış olması ise p ve q’nun her ikisinin de yanlış olduğunu gösterir. Yani:
- p: “$a\cdot b < 0$” yanlışsa → a\cdot b \ge 0
- q: “$b\cdot c > 0$” yanlışsa → b\cdot c \le 0
Ayrıca r doğru → c<0.
3.2. c < 0 Olduğunda a·b ≥ 0 ve b·c ≤ 0 Çıkarımı
- r doğru ⇒ c <0.
- p yanlış ⇒ a\cdot b \ge 0 (yani a ve b ya aynı işaretli ya da en az birisi 0).
- q yanlış ⇒ b\cdot c \le 0. Ama c<0 ise b ‘nin de işareti önemli hale gelir:
- Eğer b>0 ise b\cdot c < 0, o da $\le 0$’ı sağlar (zaten <0).
- Eğer b<0 ise b\cdot c > 0, bu çelişki olurdu; o zaman q yanlış olamaz. Dolayısıyla b<0 olması, b\cdot c>0 yapar ve q doğruya dönüşürdü. Oysa q yanlış verilmiş. Demek ki b<0 durumu eleniyor.
- Eğer b=0 ise b\cdot c=0 \le 0, bu da q’nun yanlış olması için yeterli. (q: b\cdot c>0 olduğuna göre b\cdot c=0 → q yanlış.)
Bu durumda b\cdot c \le 0 koşulu, c<0 sabit kaldığında, ya b \ge 0 (b>0 veya b=0) olmalı ki q yanlış olsun.
Ayrıca a\cdot b \ge 0:
- b=0 ise ister a pozitif ister negatif olsun ürün 0’dır, bu da $\ge0$’ı sağlar.
- b>0 ise a≥0 olmalı ki a\cdot b\ge0 kalsın veya b<0 ise a≤0… Fakat b<0 durumunu biraz önce çelişki sebebiyle eleme eğilimindeyiz. Neticede b≥0, c<0, a·b≥0, b·c≤0 durumu şekilleniyor.
3.3. Seçeneklerin Değerlendirilmesi
Verilen beş seçenekten hangisinin “her zaman doğru” olduğu soruluyor:
-
A) a + b < 0
- a ve b’nin işaretine dair kesin bir sonuç yok, sadece a·b≥0. Örneğin a=0, b=5 olabilir, bu durumda a+b=5 <0 olmaz. Dolayısıyla kesin değil.
-
B) a < b
- a’nın b’den küçük olduğunu kesinleştiren bir dayanak yok. a=5, b=5 olabilir veya a=10, b=0 olabilir. Bu da garanti değil.
-
C) a - b < 0 (eşdeğer a<b)
- Bu da kesin değil; çok benzer şekilde a=5, b=2 gibi sayısız kombinasyon var.
-
D) b·c >0
- Aslında q: b\cdot c>0 ifadesi zaten yanlış. Dolayısıyla bu seçeneğin her zaman doğru olması imkansız.
-
E) a·b·c ≤ 0
- c < 0 (r doğru),
- a·b ≥ 0 (p yanlış).
- Birinci durum c<0, ikinci durum a·b≥0 ⇒ a·b ya 0’dır ya da pozitif. Her iki hâlde de (a·b)(c) ≤ 0 elde edilir.
- Örnek: a·b=0 ise (a·b)·c=0 ≤ 0. a·b>0 ve c<0 ise (a·b)·c < 0 ≤ 0.
Dolayısıyla 5. seçenek (E) her zaman doğru olur.
Soru 2’nin cevabı: E) a·b·c ≤ 0.
4. Soru 3’ün Adım Adım Çözümü
Soru 3’te p, q, r önermeleri için iki bilgi veriliyor:
- p ⇒ q = 0: “p⇒q” ifadesi yanlışsa tek ihtimal p=1 (doğru) ve q=0 (yanlış) olmasıdır.
- p ∨ r = 1: “p veya r” doğrudur.
4.1. p ⇒ q = 0 İse p=1, q=0
Bir koşullu önermede p⇒q ancak ve ancak p=1 iken q=0 olduğunda 0 (yanlış) çıkar. Başka hiçbir durum “p⇒q”’nun yanlış olduğunu sağlamaz. Dolayısıyla:
- p: 1
- q: 0
4.2. p ∨ r = 1 İse r’nin Durumu
p=1 olduğuna göre, “p ∨ r = 1” zaten p=1 yüzünden doğru. Dolayısıyla r ister 0 ister 1 olsun sonuç 1’dir. Soru bize tipik olarak “p, q, r sırası ile doğruluk değerleri nedir?” diye sorguluyorsa, en net belirlenen değerler p=1, q=0’dır. r herhangi bir değerde olabilir; ancak çoğu zaman bu tür sorularda “r=0” seçimi yapılarak tek bir cevap seti verilir.
a) p=1, q=0, r=0 → p⇒q yanlış, p∨r ise 1 (çünkü p=1).
b) p=1, q=0, r=1 → yine p⇒q yanlış, p∨r=1.
Bazı kaynaklar, seçenekler arasında bir tek (1, 0, 0) sunabilir veya (1, 0, 1) de doğru olabileceğini söyleyebilir. Eğer soruda “hangisi kesinlikle doğrudur?” diye geçiyorsa, p=1 ve q=0 kesindir, r hakkında ek bir koşul yoksa her iki ihtimal de mümkündür. İşaretlenmiş seçenek genelde (p=1, q=0, r=0) olur.
4.3. Doğruluk Değerlerinin Sırası
Bu durumda p, q, r = 1, 0, 0 seçeneği en yaygın cevaptır (kayan bir ek bilgi yoksa). Dolayısıyla:
- p = 1
- q = 0
- r = 0
Tabii ki eğer soru seçenekler şeklinde verilmişse, (1, 0, 0) tipik olarak doğru cevaptır.
5. Örnek Doğruluk Tablosu ve Genel Bakış
Aşağıdaki tablo, bu tür mantık sorularında koşullu önerme (p⇒q) ve veya (p∨q) ifadelerinin nasıl 0 veya 1 aldığını özetlemek için hazırlanmıştır.
| p | q | p⇒q | p∨q |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
- Burada p⇒q yalnızca p=1, q=0 iken 0 değerini alır.
- p∨q yalnızca p=0, q=0 iken 0 değerini alır, diğer tüm hâllerde 1 olur.
6. Ek Mantık Bilgileri ve Kavram Açıklamaları
Mantıksal önermelerin doğruluk değerlerini anlamak için bazı temel tanımları netleştirmek yararlıdır:
6.1. Koşullu Önerme (p ⇒ q)
Koşullu önermede p ⇒ q:
- p doğru, q yanlışsa (1 ⇒ 0) sonuç 0’dır.
- Diğer tüm durumlarda (p=0, q=0) veya (p=0, q=1) ya da (p=1, q=1) sonuç 1’dir.
Bu, “eğer p ise q” ifadesinin p doğru olduğunda q’nun da doğru olmasını şart koşar.
6.2. Veya Bağlacı (p ∨ q)
p ∨ q ifadesi:
- p=0 ve q=0 olduğunda 0
- Başka tüm durumlarda 1
6.3. Ve Bağlacı (p ∧ q)
p ∧ q ifadesi:
- p=1 ve q=1 ise 1
- Diğer durumlarda 0
6.4. Karşıt ve Karşıolgusal İfadeler
- Karşıt (contrapositive): p⇒q ifadesinin karşıtı genelde ¬q⇒¬p’dir ve p⇒q ile mantıksal olarak denktir.
- Karşıolgusal (inverse): p⇒q’nun karşıolgusalı ¬p⇒¬q olup, orijinal ifadeyle mantıksal olarak denk olmak zorunda değildir.
Bu tür ince noktalar, özellikle soyut mantık sorularını çözerken sıklıkla karşımıza çıkar.
7. Tablolarla Özet
Aşağıdaki tablo, Soru 2’de elde ettiğimiz koşullardan yola çıkarak hangi değişken kombinasyonlarının mümkün olduğu hakkında fikir verir. Bu tablo, c<0 varsayımını ve (p, q) ifadelerinin yanlış olduğunu (p=0, q=0) gösterir.
| Değişken | Koşul | Sonuç |
|---|---|---|
| c | r: “c<0” → r=1 | c < 0 (kesin) |
| p=“a·b<0” | p yanlış → a·b≥0 | a ve b aynı işaretli veya 0 |
| q=“b·c>0” | q yanlış → b·c≤0 | b≥0 (b>0 ise b·c<0; b=0 ise b·c=0) |
Bu durumun direkt sonucu: a·b·c ≤ 0 her zaman sağlanır.
8. Çözümün Geniş Özeti
Bu üç soruyu uzun uzadıya ele aldığımızda:
-
Soru 1 (p: x=0, q: x+y=0, r: x*y=0)
- Seçeneklerde “p ⇒ r” ifadesi “x=0 ise x*y=0” demektir ki bu her zaman doğrudur. Dolayısıyla cevap p ⇒ r.
-
Soru 2 (p: a·b<0, q: b·c>0, r: c<0 ve r⇒(p∨q) yanlış)
- r⇒(p∨q) ancak r=1 ve (p∨q)=0 olduğunda yanlış olur. Bu da c<0, p=0 (a·b≥0), q=0 (b·c≤0) anlamına gelir. Bu koşullar altında her zaman doğru çıkan ifade a·b·c ≤ 0 olduğundan cevap E şıkkı.
-
Soru 3 (p⇒q=0, p∨r=1)
- p⇒q=0 ⇒ p=1 ve q=0.
- p∨r=1 ⇒ p=1 olduğundan zaten 1, r herhangi bir değerde olabilir, ancak testlerde çoğunlukla (p=1, q=0, r=0) biçiminde tek seçenek sunulur. Dolayısıyla p=1, q=0, r=0 genel cevap setidir.
Böylece bu mantık sorularının çözümü açıkça netleşir.
Soru ve Çözümlerin Temel Noktalarının Özeti
- Koşullu önerme (p⇒q) sadece p=1, q=0 olduğunda 0 (yanlış) olur.
- Veya (p∨q) ifadesi ancak p=0, q=0 olduğunda 0 olur.
- Bir ifadenin “her zaman doğruluğu” aranıyorsa, o ifadenin tüm mümkün senaryolarda 1 değeri vermesi gerekir.
- Soru 2’de r⇒(p∨q) yanlıştır ⇒ r=1 ve (p∨q)=0. Bu da p=0, q=0 ve r=1 demektir. Dolayısıyla c<0 ve a·b≥0, b·c≤0. Bu direkt a·b·c ≤ 0 sonucunu getirir.
Özet Tablo
Aşağıdaki tablo, çözüm adımlarının ve sonuçlarının kısa bir özetini verir:
| Soru | Verilenler | Aranan | Çözüm / Cevap |
|---|---|---|---|
| 1 | p: x=0, q: x+y=0, r: x*y=0 | Hangisi her zaman 1? (r⇒p, q⇒p, p⇒r, r⇒q, p⇒q) | p⇒r (x=0 ise x*y=0 mutlaka doğrudur) |
| 2 | p: a·b<0, q: b·c>0, r: c<0; r⇒(p∨q) yanlıştır | Hangi ifade her zaman doğrudur? | a·b·c ≤ 0 (E şıkkı) |
| 3 | p⇒q=0, p∨r=1 | p, q, r değerleri? | p=1, q=0 ve r herhangi bir değerde (genel cevap: 1,0,0). |
Bu şekilde her bir sorunun mantıksal çözüm süreci tamamlanmıştır.