757575…7575 kırk basamaklı sayısının 55 ile bölümünden elde edilen kalan a doğal sayısı ise 5a - 4 sayısının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?
Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim.
-
757575…7575 Sayısının Yapısı:
- Bu sayı, 7575 rakamlarının ardışık olarak tekrar ettiği bir sayı dizisidir.
- Bu sayının 40 basamaklı olması için, 7575 rakamından kaç tane olduğunu bulmalıyız. 7575, 4 basamaklı bir sayıdır.
- 40 basamağı oluşturmak için \frac{40}{4} = 10 adet 7575 kullanılır.
-
55 İle Bölümünden Kalan:
-
55 = 5 × 11 olduğundan, 7575’in hem 5 hem de 11 ile bölümünden kalanları inceleyelim.
-
7575’in 5 ile Bölümünden Kalan:
7575 sayısının son rakamı 5 olduğundan, 5 ile bölündüğünde kalan 0’dır. -
7575’in 11 ile Bölümünden Kalan:
Alternatif toplama yöntemi kullanılırsa:
(7 - 5 + 7 - 5) = 4 olduğundan, 11 ile bölümünden kalan 4’tür. -
Çin Kalan Teoremi Uygulayarak:
- x \equiv 0 \pmod{5}
- x \equiv 4 \pmod{11}
x = 11k + 4 olarak yazabiliriz ve bu ifade 5 ile bölündüğünde sonucu 0 vermelidir:
11k + 4 \equiv 0 \pmod{5}11 \equiv 1 \pmod{5} olduğundan,
k + 4 \equiv 0 \pmod{5} \Rightarrow k \equiv 1 \pmod{5}Buradan k = 5m + 1 alabiliriz ve $x$’i yerine koyalım:
$$x = 11(5m + 1) + 4 = 55m + 11 + 4 = 55m + 15$$
$$x \equiv 15 \pmod{55}$$
Yani, 7575’in 55 ile bölümünden kalan 15’tir ve bu durumda a = 15 olur.
-
-
5a - 4 Sayısının 6 İle Bölümünden Kalan:
- a = 15 olduğuna göre, 5a - 4 = 5 \cdot 15 - 4 = 75 - 4 = 71 olur.
- 71 sayısının 6 ile bölümünden kalanı bulmak için:
$$71 \div 6 = 11 \text{ ve kalan } 5.$$
Bu yüzden, 5a - 4 sayısının 6 ile bölümünden kalan 5’tir.
Yanıt: E) 5