Lütfen acil ayt mat

757575…7575 kırk basamaklı sayısının 55 ile bölümünden elde edilen kalan a doğal sayısı ise 5a - 4 sayısının 6 ile bölümünden kalan kaçtır?

Bu soruyu çözmek için adım adım ilerleyelim.

  1. 757575…7575 Sayısının Yapısı:

    • Bu sayı, 7575 rakamlarının ardışık olarak tekrar ettiği bir sayı dizisidir.
    • Bu sayının 40 basamaklı olması için, 7575 rakamından kaç tane olduğunu bulmalıyız. 7575, 4 basamaklı bir sayıdır.
    • 40 basamağı oluşturmak için \frac{40}{4} = 10 adet 7575 kullanılır.
  2. 55 İle Bölümünden Kalan:

    • 55 = 5 × 11 olduğundan, 7575’in hem 5 hem de 11 ile bölümünden kalanları inceleyelim.

    • 7575’in 5 ile Bölümünden Kalan:
      7575 sayısının son rakamı 5 olduğundan, 5 ile bölündüğünde kalan 0’dır.

    • 7575’in 11 ile Bölümünden Kalan:
      Alternatif toplama yöntemi kullanılırsa:
      (7 - 5 + 7 - 5) = 4 olduğundan, 11 ile bölümünden kalan 4’tür.

    • Çin Kalan Teoremi Uygulayarak:

      • x \equiv 0 \pmod{5}
      • x \equiv 4 \pmod{11}

      x = 11k + 4 olarak yazabiliriz ve bu ifade 5 ile bölündüğünde sonucu 0 vermelidir:
      11k + 4 \equiv 0 \pmod{5}

      11 \equiv 1 \pmod{5} olduğundan,
      k + 4 \equiv 0 \pmod{5} \Rightarrow k \equiv 1 \pmod{5}

      Buradan k = 5m + 1 alabiliriz ve $x$’i yerine koyalım:
      $$x = 11(5m + 1) + 4 = 55m + 11 + 4 = 55m + 15$$
      $$x \equiv 15 \pmod{55}$$

    Yani, 7575’in 55 ile bölümünden kalan 15’tir ve bu durumda a = 15 olur.

  3. 5a - 4 Sayısının 6 İle Bölümünden Kalan:

    • a = 15 olduğuna göre, 5a - 4 = 5 \cdot 15 - 4 = 75 - 4 = 71 olur.
    • 71 sayısının 6 ile bölümünden kalanı bulmak için:
      $$71 \div 6 = 11 \text{ ve kalan } 5.$$

Bu yüzden, 5a - 4 sayısının 6 ile bölümünden kalan 5’tir.

Yanıt: E) 5

1 Beğeni