Lütfen açıklama sağlayın

YKS TYT
1

17416974394915734120413038419998
174169743949157341204130384199984624×3472 415 KB

2

Bir ABC üçgeninde verilen trigonometrik eşitlik (sin²(A+B) = cos²(A) - cos²(B)) dikkate alınarak, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Soruyu çözmek için aşağıdaki adımları izleyelim:

Trigonometrik İlişkinin Analizi

Eşitlik:

\sin^2(A+B) = \cos^2(A) - \cos^2(B)

Başlangıçta, A+B durumuna dikkat edin. Bu bir üçgende olduğu için açıların toplamı önemlidir:

A + B + C = 180^\circ

Buradan:

A+B = 180^\circ - C

Bu bilgiyi yerine koyarsak, sin(180° - C) ile ilişki kurulabilir:

\sin(180^\circ - C) = \sin(C)

Dolayısıyla, eşitlik şu hale dönüşür:

\sin^2(C) = \cos^2(A) - \cos^2(B)

Bir Üçgende temel trigonometrik özellikler ve açıların durumu

Üçgen iç açılar toplamı her zaman 180° olduğuna göre açıların büyüklükleri üzerine yorum yapabiliriz:

  • Eğer bir üçgende 90°’lik bir açı varsa, bu üçgen dik üçgen olur.
  • Verilen ifadeyi çözebilmek için hangi açıların önemli olduğu belirlenmelidir.

Seçeneklerin Analizi

Seçenek A) m(∠A) = 90°

Bu mümkündür çünkü bir dik üçgende bir açı 90° olabilir. Ancak kesin doğru olduğuna dair elimizde net bir kanıt yok.

Seçenek B) m(∠B) = 90°

Benzer şekilde, ∠B’nin 90° olabileceğine dair net bir ilişki kurulabilir, ancak bu kesin değildir.

Seçenek C) m(∠C) = 90°

Elde edilen eşitlik ve toplam açılar ilişkisinden ∠C’nin 90° olduğu çıkarılabilir. Bu, dik üçgen oluşmasını sağlar ve eşitlik çözüme ulaşır.

Sonuç:

\sin^2(C) = \cos^2(A) - \cos^2(B)

Bu, C’nin dik açı olduğunun kesin göstergesidir.

Seçenek D) m(∠B) = 60°

Bu ifade doğru olabilir, ancak kesin bir kanıt sunmaz. Seçenek C’nin doğru olduğu durumda diğer açıların ölçüsü değişkenlik gösterebilir.

Seçenek E) m(∠B) = m(∠C) = 45°

Bu ifade yanlıştır. Eğer ∠C = 90° çıkmışsa, ∠B ve ∠A’nın toplamı 90° olmalıdır. Bu durumda iki açının eşit olması imkansızdır.

Sonuç

Kesin doğru olan seçenek: C) m(∠C) = 90°

Özet Tablo

Seçenekler Durum Açıklama
A) m(∠A) = 90° Mümkün ama kesin değil Dik üçgendeki diğer açı olabilir.
B) m(∠B) = 90° Mümkün ama kesin değil Benzer gerekçe.
C) m(∠C) = 90° Kesin doğru Trigonometrik çözüm bunu gösteriyor.
D) m(∠B) = 60° Belirsiz Kanıt eksikliğinden doğru kabul edilemez.
E) m(∠B) = m(∠C) = 45° Yanlış ∠C = 90° olduğu için mümkün değil.

Emin olduğumuz sonuç: C şıkkı doğru cevaptır.

@username