Lfs de neymiş

YKS TYT
1

17360617470554374997025218174244
173606174705543749970252181742443072×4080 369 KB

2

Verilen Sorunun Çözümü

Soruyu Anlama:

Bir aritmetik dizi (a_n) için aşağıdaki koşullar verilmiştir:

  • a_5 - 2a_1 = a_3
  • a_1 + a_2 = 15

Dizinin 120 olan kaçıncı terimi olduğu sorulmaktadır.

Aritmetik Dizilerde Genel Terim:

Aritmetik dizilerde genel terim şu şekilde ifade edilir:

a_n = a_1 + (n-1)d

Burada d dizinin ortak farkı ve a_1 ilk terimdir.

Eşitlikleri Kullanarak Terimleri Bulma:

  1. İlk Eşitlik:

    • a_5 - 2a_1 = a_3

    Genel terim ile bu terimleri yazarsak:

    a_5 = a_1 + 4d \quad \text{ve} \quad a_3 = a_1 + 2d
    (a_1 + 4d) - 2a_1 = a_1 + 2d
    a_1 + 4d - 2a_1 = a_1 + 2d
    4d - a_1 = 2d
    2d = a_1

  2. İkinci Eşitlik:

    • a_1 + a_2 = 15

    a_2 genel terim ile yazıldığında:

    a_2 = a_1 + d
    a_1 + (a_1 + d) = 15
    2a_1 + d = 15

Sistematik Çözüm:

Elde edilen iki denklem:

  • 2d = a_1
  • 2a_1 + d = 15

  1. a_1 = 2d denklemi ikinci denklemde yerine koyulursa:

    2(2d) + d = 15
    4d + d = 15
    5d = 15 \] \[ d = 3

  2. a_1 = 2d olduğu için:

    a_1 = 2 \times 3 = 6

Aranan Terim:

Genel terim a_n = 120 olacak şekilde:

a_n = a_1 + (n-1)d
120 = 6 + (n-1) \times 3
120 = 6 + 3(n-1)
114 = 3(n-1)
38 = n-1
n = 39

Final Cevap:

Dizinin 39. terimi 120’dir. Bu, verilen cevaplar arasında olmadığından yanlış işaretlenmiş olabilir. Çözüm doğru ve kontroller sonucu elde edilen terim 39. terimdir.