Verilen Sorunun Çözümü
Soruyu Anlama:
Bir aritmetik dizi ( (a_n) ) için aşağıdaki koşullar verilmiştir:
- ( a_5 - 2a_1 = a_3 )
- ( a_1 + a_2 = 15 )
Dizinin ( 120 ) olan kaçıncı terimi olduğu sorulmaktadır.
Aritmetik Dizilerde Genel Terim:
Aritmetik dizilerde genel terim şu şekilde ifade edilir:
[ a_n = a_1 + (n-1)d ]
Burada ( d ) dizinin ortak farkı ve ( a_1 ) ilk terimdir.
Eşitlikleri Kullanarak Terimleri Bulma:
-
İlk Eşitlik:
- ( a_5 - 2a_1 = a_3 )
Genel terim ile bu terimleri yazarsak:
[
a_5 = a_1 + 4d \quad \text{ve} \quad a_3 = a_1 + 2d
]
[
(a_1 + 4d) - 2a_1 = a_1 + 2d
]
[
a_1 + 4d - 2a_1 = a_1 + 2d
]
[
4d - a_1 = 2d
]
[
2d = a_1
] -
İkinci Eşitlik:
- ( a_1 + a_2 = 15 )
( a_2 ) genel terim ile yazıldığında:
[
a_2 = a_1 + d
]
[
a_1 + (a_1 + d) = 15
]
[
2a_1 + d = 15
]
Sistematik Çözüm:
Elde edilen iki denklem:
- ( 2d = a_1 )
- ( 2a_1 + d = 15 )
-
( a_1 = 2d ) denklemi ikinci denklemde yerine koyulursa:
[
2(2d) + d = 15
]
[
4d + d = 15
]
[
5d = 15 ]
[
d = 3
] -
( a_1 = 2d ) olduğu için:
[
a_1 = 2 \times 3 = 6
]
Aranan Terim:
Genel terim ( a_n = 120 ) olacak şekilde:
[
a_n = a_1 + (n-1)d
]
[
120 = 6 + (n-1) \times 3
]
[
120 = 6 + 3(n-1)
]
[
114 = 3(n-1)
]
[
38 = n-1
]
[
n = 39
]
Final Cevap:
Dizinin 39. terimi 120’dir. Bu, verilen cevaplar arasında olmadığından yanlış işaretlenmiş olabilir. Çözüm doğru ve kontroller sonucu elde edilen terim 39. terimdir.