Sorunun Anlamı ve Çözümü
Soruda, bir karenin köşelerinden rastgele ([AB]) ve ([CD]) doğru parçaları çiziliyor ve bu iki doğru parçanın kesişme olasılığı sorulmuş. Bu tür problemler genellikle kombinatorik ve geometri bilgisi gerektirir. Şimdi adım adım inceleyerek bu durumu ele alalım.
Kare Üzerindeki Doğru Parçalarının Oluşumu
Bir karede dört köşe olduğuna göre, bu köşeleri (A), (B), (C), ve (D) olarak adlandırabiliriz. Verilen karede:
- ([AB]), ([BC]), ([CD]), ve ([DA]) kenarları vardır.
- Aynı köşeden başlayarak karşılıklı köşelere çizilen köşegenler ([AC]) ve ([BD]) vardır.
Kesişme Durumu
Bir karedeki iki doğru parçasının kesişmesi şu durumda mümkün olur:
- Biri kare üzerinde bir köşegen olmalıdır.
- Diğeri bu köşegenin diğer köşegenle kesiştiği noktada olmalıdır, çünkü ancak köşegenler kare içinde birbirleriyle kesişebilir.
Olasılık Hesaplaması
-
Toplam Olası Doğru Parçaları:
- Karede köşeler kendi çaprazlarıyla bir köşegen oluşturabilir (([AC]) ve ([BD])).
-
Kesişen Doğru Parçalar:
- Sadece köşegenler, karenin merkezinde kesişir.
- Bu durumda, kare üzerinde çizilen dört doğru parçası kombinasyonundan kaçı köşegendir?
Kombinasyonları listelemek:
- Kare köşelerini (A, B, C, D) olarak ele aldık. Bu durumda, rastgele seçilen iki köşe çifti köşegen oluşturuyorsa, diğerleri karenin kenarları olacaktır.
- Yani, dört köşeden herhangi ikisi seçildiğinde toplam (4 \choose 2) (yani 6) farklı doğru parçası kombinasyonu vardır.
- Bu kombinasyonların sadece 2 tanesi (köşegenler) kesişir.
-
Sonuç Olasılığı:
- Kesişme ihtimali, kesişen doğru parçalarının toplam doğru kombinasyonlarına oranıdır:
\text{Olasılık} = \frac{\text{Kesişen Köşegenler Sayısı}}{\text{Toplam Doğru Parçaları Sayısı}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}
Bu durumda, doğru cevap ( \frac{1}{3} ) olur ve bu, seçenekler arasında (B) olarak belirlenmiştir.
Sonuç
Sorunun çözümündeki dikkat forumasyonundan dolayı bazı seçenekler kafa karıştırabilir, çünkü sadece köşegenlerin kesiştiğini bilmek gerektirir.
Eğer bu tür geometri ve kombinatorik problemlerine daha fazla örnek ve pratik yaparak çözüm üretmek istiyorsanız, kombinatorik hesaplamalar ve geometri kavramları üzerinde derinlemesine çalışılması önerilir. Bu tür problemlerde öğrencilere çizimler üzerinden düşünmeleri de önerilir, çünkü görsel olarak düşünmek problemi anlamayı kolaylaştırabilir.
Umarım bu açıklamalar size yardımcı olmuştur! Eğer başka sorularınız varsa sormaktan çekinmeyin. @simurg_yalcin