K kaçtır

YKS TYT
1

17421183448275237081908695563219
17421183448275237081908695563219720×540 26.1 KB

2

K kaçtır?

Cevap:
Bu tür sorularda, bir eğik düzlem üzerindeki cismin düşey duvarla temas hâlinde olduğu ve bu duvarla arasında sürtünme kuvveti oluştuğu kabul edilir. Verilen eğim açısı, trigonometri oranları (sin 37°=0,6; sin 53°=0,8) ve yerçekimi kuvveti kullanılarak cismin düşeyde ve yatayda dengede kalmasını sağlayan ilişkiler yazılır. Ardından, sürtünme katsayısı K bu denge koşullarından elde edilir. Aşağıda adım adım süreç gösterilmektedir.

1. Problem Tanımı ve Kuvvetler

  1. Cisim: Eğik düzlem üzerinde duruyor ve aynı zamanda sağ tarafında dik bir duvarla temas hâlinde.
  2. Açı (37°): Eğik düzlem, yatayla 37°’lik açı yapıyor (dolayısıyla düzlemin normali dikeyle 37° yapar).
  3. Yerçekimi (mg): Aşağı doğru etki eder.
  4. Düzlem Normali (N): Düzleme dik etki eden tepki kuvveti.
  5. Duvar Normali (Nduvar): Duvardan cisme doğru yatay bir tepki kuvveti oluşur.
  6. Sürtünme Kuvveti (Fs): Dikey yönde, duvarla cisim arasındaki sürtünme kuvvetidir ve değeri
    $$F_s = K \cdot N_\text{duvar}$$
    şeklindedir.
  7. Sürtünme Katsayısı (K): Bu soruda aranan bilinmeyendir.

2. Eğik Düzlemde Denge Koşulları

Cismin hem yatay yönde hem de düşey yönde ivmesi olmadığı için aşağıdaki denge denklemlerini yazarız:

  1. Dikey Denge:
    Cisme etki eden dikey kuvvetler birbirini dengelemek zorundadır.

    • Aşağı doğru: mg
    • Yukarı doğru: Eğik düzlemin normal kuvvetinin dikey bileşeni + duvar sürtünmesi.

  2. Yatay Denge:
    Cisme etki eden yatay kuvvetler de sıfır net kuvvet verecek şekilde dengededir.

    • Sağ veya sol yöndeki kuvvetler: Düzlem normalinin yatay bileşeni ve duvarın normal kuvveti.

3. Normal Kuvvetinin Bileşenleri

Eğik düzlem, yatayla 37° açı yapıyorsa düzleme dik doğrultu (düzlem normali) dikeyle 37° açı yapar. Yerçekimi kuvvetinin büyüklüğü mg olsun. Sürtünmesiz bir eğik düzlem varsayarsak, cisme etkiyen düzlem normal kuvvetinin büyüklüğü aşağıdaki gibi bulunur:

  • Düzlem normalini N ile gösterelim.
  • Düzleme dik yönde net kuvvet sıfır olmalıdır.

Düzleme dik yöndeki bileşeni almak için mg vektörünün, düzlem normaliyle yaptığı açıya bakmamız gerekir. Açıların 3-4-5 üçgeni özelliği sayesinde,

  • \sin 37° = 0{,}6
  • \cos 53° = 0{,}6 (çünkü 53° = (90°−37°))

Dolayısıyla:

N = mg \cdot \cos 53^\circ = mg \cdot 0{,}6

Böylece:

N = 0{,}6\,mg

Artık normali vektörel olarak yatay ve düşey bileşenlerine ayırabiliriz:

  1. Dikey Bileşen (N_y):

    N_y = N \cdot \cos 37^\circ = (0{,}6\,mg) \cdot 0{,}8 = 0{,}48\,mg

  2. Yatay Bileşen (N_x):

    N_x = N \cdot \sin 37^\circ = (0{,}6\,mg) \cdot 0{,}6 = 0{,}36\,mg

4. Yatay Denge: Duvarın Normal Kuvveti

Cisme yatayda iki kuvvet etki eder:

  • Düzlem normalinin yatay bileşeni: N_x = 0{,}36\,mg (sağa doğru varsayırsak),
  • Duvarın normal kuvveti: N_\text{duvar} (sola doğru).

Denge şartına göre,

N_\text{duvar} = 0{,}36\,mg

5. Dikey Denge: Sürtünme Kuvveti

Dikey doğrultuda iki temel kuvvet vardır:

  • Aşağı doğru: mg
  • Yukarı doğru: N_y + F_s
    Burada F_s duvarla cisim arasındaki sürtünmedir ve değeri F_s = K \cdot N_\text{duvar} olarak verilir.

Dikey denge denklemimiz şu şekildedir:

N_y + F_s = mg

N_y daha önce 0{,}48\,mg şeklinde bulundu. O hâlde:

0{,}48\,mg + F_s = mg

Buradan sürtünme kuvveti:

F_s = mg - 0{,}48\,mg = 0{,}52\,mg

6. Sürtünme Katsayısının (K) Hesabı

Duvarla arasındaki sürtünme kuvveti:

F_s = K \cdot N_\text{duvar}

ve N_\text{duvar} = 0{,}36\,mg, F_s = 0{,}52\,mg bulunduğuna göre,

0{,}52\,mg = K \cdot (0{,}36\,mg)

Her iki tarafta mg ortak olduğu için sadeleştiririz:

0{,}52 = K \cdot 0{,}36
K = \frac{0{,}52}{0{,}36} = \frac{52}{36} = \frac{13}{9} \approx 1{,}44

Dolayısıyla sürtünme katsayısı:

\boxed{K = \frac{13}{9} \approx 1{,}44}

7. Özet Tablo

Aşağıdaki tabloda, önemli adımlar ve elde edilen sonuçlar özetlenmektedir:

Adım İşlem veya Formül Sonuç
1. Normal kuvveti N = mg \cos 53^\circ N = 0{,}6\,mg
2. Normalin yatay bileşeni N_x = N \sin 37^\circ N_x = 0{,}36\,mg
3. Normalin dikey bileşeni N_y = N \cos 37^\circ N_y = 0{,}48\,mg
4. Duvar normal kuvveti N_\text{duvar} = N_x 0{,}36\,mg
5. Dikey denge N_y + F_s = mg F_s = 0{,}52\,mg
6. Sürtünme kuvveti (duvar-cisim) F_s = K \cdot N_\text{duvar} K \cdot 0{,}36\,mg
7. Katsayı hesabı K = \tfrac{0{,}52}{0{,}36} K \approx 1{,}44

Yukarıdaki tablo, her aşamayı kısaca özetleyerek K değerinin nasıl bulunduğunu göstermektedir.

Sonuç:
Bu problemde, 37°’lik eğik düzlem üzerinde ağırlığı mg olan bir cismin duvara sürtünerek dengede kalabilmesi için gerekli sürtünme katsayısı \displaystyle K = \frac{13}{9} \approx 1{,}44 olarak bulunur.

@dogan_kayis