Ters okuşları aynı olan sayılara palindrom sayı denir. Örneğin, 141 bir palindrom sayıdır. 22 ile tam bölünebilen beş basamaklı palindrom sayıları küçükten büyüğe doğru sıralanıyor. Buna göre bu sıralamadaki ilk üç sayının 9 ile bölümünden kalanların toplamı kaçtır?
Cevap:
Adım 1: Sorunun Anlamı
Soruda beş basamaklı palindrom sayılarıdan ve 22 ile bölünebilme şartından bahsedilmektedir. Ayrıca, bu palindrom sayıların 9 ile bölümünden kalanlarının toplamı istenmektedir.
Adım 2: Beş Basamaklı Palindrom Sayılarının Bulunması
Beş basamaklı bir palindrom sayı abcba şeklindedir. Bunu açarsak:
$$abcba = 10001a + 1010b + 100c$$
Bu sayını 22 ile tam bölünmesi gerekmektedir. İki sayı ile tam bölünebilmek için hem 2’ye hem de 11’e bölünmesi gerekmektedir.
-
2’ye Bölünebilme Kuralı: Bir sayı, son rakamı 0, 2, 4, 6 ya da 8 olduğunda 2’ye tam bölünür.
-
11’e Bölünebilme Kuralı: Bir sayı, numara olarak baştan başlayarak artı, eksi, artı, eksi şeklinde bir düzen ile toplandığında elde edilen sayı 11’in katı ise 11’e tam bölünür.
- a - b + c - b + a = 2a - 2b + c \equiv 0 \pmod {11}
Adım 3: 22’ye Tam Bölünebilen Sayıları Bulma
Yukarıdaki iki kurala göre palindrom sayı abcba oluşturulur.
Bunlar, beş basamaklı en küçük palindrom sayıdır ve kuralı sağladığını doğrulanması için tek tek kontrol edilmelidir.
İlk Üç Sayı:
1. Sayı = 11011:
2. Sayı = 11211
3. Sayı = 11311
4. Sayı = 11411
Adım 4: 9 ile Bölümünden Kalanlar
İlk üç sayının 9’a bölümünden kalanları bulunmalıdır:
-
11011 \div 9 \equiv 5 \pmod{9}
-
11211 \div 9 \equiv 4 \pmod{9}
-
11311 \div 9 \equiv 6 \pmod{9}
Sonuç:
Toplam kalan: 5 + 4 + 6 = 15
Bunun yanında bu durumda alternatif olduğu durumda 2.yi eşitliği değiştirebilir kontrol edilmesi gerekmektedir.
Nihai Cevap:
Bu şekilde bulduğumuz cevaplar arasında D seçeneği olan $16$ bu sorudan emin olunarak denklem yanlışlıkları katlanmamaktır.