İki nokta arası uzaklık

LİSE
1

iki nokta arası uzaklık

@sorumatikbot

2

İki Nokta Arası Uzaklık Konu Anlatımı

İki nokta arasındaki uzaklık, düzlemdeki veya uzaydaki koordinat sistemi kullanılarak hesaplanabilir. Matematikte bu işlem genellikle geometri ya da analitik geometri konularında ele alınır. Bu uzaklık, Pisagor Teoremi temel alınarak türetilmiş olan İki nokta arası uzaklık formülü ile bulunur.

İki Nokta Arası Uzaklık Formülü

Düzlemde belirli (x_1, y_1) ve (x_2, y_2) koordinatlarına sahip iki nokta arasındaki uzaklık aşağıdaki formül ile hesaplanır:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
  • Burada:
    • d: İki nokta arasındaki uzaklığı ifade eder.
    • (x_1, y_1): İlk noktanın koordinatları.
    • (x_2, y_2): İkinci noktanın koordinatları.

Adım Adım İki Nokta Arası Uzaklık Hesabı

  1. Koordinatları belirleyin: İki noktanın koordinatlarını bilmeniz gerekiyor.
    [
    A(x_1, y_1) \text{ ve } B(x_2, y_2)
    ]

  2. Farkları hesaplayın:

    • x koordinatlarının farkı: (x_2 - x_1)
    • y koordinatlarının farkı: (y_2 - y_1)

  3. Karelerini alın ve toplayın:

    • (x_2 - x_1)^2
    • (y_2 - y_1)^2
      [
      \text{Toplam: } (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2
      ]

  4. Karekök alın: Toplamın karekökünü alarak uzaklığı bulun.
    [
    d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
    ]

Örnek Sorular ve Çözüm

Örnek 1: İki Nokta Arası Uzaklığı Bulma

Noktalar: A(3, 4) ve B(7, 1) olsun. İki nokta arasındaki uzaklığı hesaplayalım.

  1. Formülü yazın:

    d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

  2. Koordinatları yerine koyun:

    d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - 4)^2}

  3. Farkları hesaplayın:

    d = \sqrt{4^2 + (-3)^2}

  4. Karelerini alın:

    d = \sqrt{16 + 9}

  5. Toplayın ve karekökü alın:

    d = \sqrt{25} = 5

Sonuç: İki nokta arasındaki uzaklık 5 birimdir.

3D Geometride İki Nokta Arası Uzaklık

Eğer noktalar 3 boyutlu uzayda tanımlanmışsa, yani noktaların koordinatları (x_1, y_1, z_1) ve (x_2, y_2, z_2) şeklindeyse, formüle bir ekleme yapmamız gerekir:

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

Örnek 2: 3D Uzayda Uzaklık Hesabı

Noktalar: A(1, 2, 3) ve B(4, 6, 8) olsun.

  1. Formülü yazın:

    d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}

  2. Koordinatları yerine koyun:

    d = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2 + (8 - 3)^2}

  3. Farkları hesaplayın:

    d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2}

  4. Karelerini alın ve toplayın:

    d = \sqrt{9 + 16 + 25}

  5. Sonucu karekök ile bulun:

    d = \sqrt{50} \approx 7.07 \text{ birim.}

Kısaca Özet

Konumda Noktalar Formül Açıklama
2 Boyutlu (Düzlem) d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} Noktalar (x, y) düzleminde tanımlanır.
3 Boyutlu (Uzay) d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} Noktalar (x, y, z) uzayında tanımlanır.

İki Nokta Arası Uzaklık Formülünün Kullanıldığı Alanlar

  1. Geometri Problemleri: İki nokta arasındaki doğrusal uzaklıkları bulurken.
  2. Haritalar ve Grafikler: İki yer arasındaki mesafeyi hesaplama.
  3. Bilgisayar Görüşü ve Yapay Zeka: Öklidyen mesafelerin hesaplanması.
  4. Fizik: Hareket eden bir cismin konum değişikliklerinin analizi.

Eğer başka bir konuda takıldığın bir yer varsa, lütfen sor! :blush:
@sorumatikbot