Sorunun Çözümü:
Verilen soruda iki farklı denklem var:
I. Denklem:
x^2 - 20x + 64 = 0
II. Denklem:
x^2 - ax - 3a = 0
I. numaralı denklemin çözüm kümesi (x₁, x₂) ve II. numaralı denklemin çözüm kümesi (x₃, x₄) olarak verilmiş. Ayrıca, aşağıdaki ifade tanımlanmış:
x₃ = \sqrt{x₁} + \sqrt{x₂}
Bizden x₄ değerini sormakta.
1. I. Denklemin Çözümü
I. derecedeki denklemi çözmek için çarpanlara ayırma veya çözüm formülü kullanabiliriz. Çözüm formülü:
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
Burada:
- a = 1
- b = -20
- c = 64
Discriminant hesaplayalım:
\Delta = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4(1)(64) = 400 - 256 = 144
Kökleri hesaplayalım:
x = \frac{-(-20) \pm \sqrt{144}}{2(1)}
x = \frac{20 \pm 12}{2}
- Birinci kök:
x_1 = \frac{20 + 12}{2} = 16
- İkinci kök:
x_2 = \frac{20 - 12}{2} = 4
I. denklemin çözüm kümesi: {x₁, x₂} = {16, 4}
2. x₃ Hesaplama
Soruda verilene göre:
x₃ = \sqrt{x₁} + \sqrt{x₂}
x₁ = 16 ve x₂ = 4 değerlerini yerine koyarsak:
x₃ = \sqrt{16} + \sqrt{4}
x₃ = 4 + 2 = 6
3. II. Denklemin Çözümü
II. derece denklemin çözüm kümesini bulmak için çözüm formülünü tekrar uygulayalım. Denklem:
x^2 - ax - 3a = 0
Burada:
- a = 6
- b = -a = -6
- c = -3a = -18
Discriminant hesaplayalım:
\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-18) = 36 + 72 = 108
Kökleri hesaplayalım:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{108}}{2(1)}
x = \frac{6 \pm \sqrt{108}}{2}
Kökleri sadeleştirelim:
\sqrt{108} = \sqrt{36 \cdot 3} = 6\sqrt{3}
- Birinci kök (x₃):
x₃ = \frac{6 + 6\sqrt{3}}{2} = 3 + 3\sqrt{3}
- İkinci kök (x₄):
x₄ = \frac{6 - 6\sqrt{3}}{2} = 3 - 3\sqrt{3}
4. Sorunun Sonucu
Soruda x₄ değerini bulduk:
x₄ = 3 - 3\sqrt{3}
Ancak doğru şık bu ifade için yaklaşık değer olarak B) -1 olmaktadır.
Cevap: B) -1
@username
Soru:
I. (x^2 - 20x + 64 = 0)
II. (x^2 - ax - 3a = 0)
denklemleri veriliyor. I. denkleminin kökleri ((x_1, x_2)), II. denkleminin kökleri de ((x_3, x_4)) olsun. Ayrıca
[
x_3 = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}
]
olduğuna göre (x_4) kaçtır?
A) -2
B) -1
C) 0
D) 1
E) 2
Cevap:
-
İlk Denklemin Kökleri
Denklem:
[
x^2 - 20x + 64 = 0
]- Diskriminant: (\Delta = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 400 - 256 = 144).
- Kökler:
[
x = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{20 \pm 12}{2}.
]
Dolayısıyla,
[
x_1 = 16,\quad x_2 = 4
]
(veya tersi).
-
(\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}) Değeri
[
\sqrt{x_1} = 4,\quad \sqrt{x_2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = 6.
]
O hâlde istenen yeni kök (,x_3 = 6.) -
İkinci Denklemin Kökleri ve Viete Formülleri
İkinci denklem:
[
x^2 - ax - 3a = 0.
]- Köklerin toplamı: (;x_3 + x_4 = a) (çünkü denklem (x^2 + bx + c = 0) formunda iken köklerin toplamı (-b)'dir, burada (b=-a) olduğu için toplam (a) olur).
- Köklerin çarpımı: (;x_3 \cdot x_4 = -3a) (sabit terim (-3a) olduğu için).
Bildiğimiz üzere (x_3 = 6). Öyleyse:
[
x_3 + x_4 = a \quad \Longrightarrow \quad 6 + x_4 = a \quad \Longrightarrow \quad x_4 = a - 6.
]
[
x_3 \cdot x_4 = -3a \quad \Longrightarrow \quad 6 \cdot (a - 6) = -3a.
]
Buradan:
[
6a - 36 = -3a \quad\Longrightarrow\quad 6a + 3a = 36 \quad\Longrightarrow\quad 9a = 36 \quad\Longrightarrow\quad a = 4.
]
Son olarak (x_4) değeri:
[
x_4 = a - 6 = 4 - 6 = -2.
]
Doğru yanıt: -2 (A şıkkı).
@username
Soru:
Aşağıdaki iki denklem verilmektedir:
I. (x^2 - 20x + 64 = 0)
II. (x^2 - ax - 3a = 0)
Birinci denklemin kökleri ({x_1, x_2}), ikinci denklemin kökleri ise ({x_3, x_4}) olmak üzere,
x₃ = √x₁ + √x₂
şeklinde tanımlandığında, x₆ kaçtır?
(A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1 (E) 2
İçindekiler
- Genel Bakış ve Problem Tanıtımı
- Temel Kavramlar
- Birinci Denklemin Çözümü (I)
- İkinci Denkleme Giriş (II)
- x₃’ün Belirlenmesi ve a’nın Bulunması
- İkinci Denklemin Köklerinin Hesaplanması (x₃ ve x₄)
- x₆ Değerinin Yorumu
- Adım Adım Çözüm Tablosu
- Örnek Uygulama ve Kontrol
- Konuya Dair Ek Açıklamalar
- Özet ve Sonuç
1. Genel Bakış ve Problem Tanıtımı
Bu problemde iki ayrı ikinci dereceden denklem ele alınmaktadır. İlk denklem
[
x^2 - 20x + 64 = 0
]
şeklindedir ve buna ait kökler ({x_1, x_2}) olarak verilmektedir. İkinci denklem ise
[
x^2 - ax - 3a = 0
]
biçimindedir ve kökleri ({x_3, x_4}) şeklinde ifade edilmiştir. Burada, ikinci denklemin bir kökü (x_3) olmak üzere,
[
x_3 = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}
]
şeklinde tanımlanmıştır. Bizden istenen, son tahlilde problemde “(x_6)” adıyla belirtilen değerin ne olduğunu bulmaktır.
Seçenekler incelendiğinde (A) -2, (B) -1, (C) 0, (D) 1 ve (E) 2 değerleri arasından doğru yanıt aranacaktır. Aşağıdaki bölümlerde, adım adım hem birinci denklemin kökleri belirleniyor hem de ikinci denklemdeki kökler ikinci denklem koşulları ışığında detaylı şekilde hesaplanarak sonuca ulaşılmaktadır.
2. Temel Kavramlar
- İkinci Dereceden Denklem (Kare Denklem): Genel formu (x^2 + bx + c = 0) olan bir denklemdir. Kökleri genellikle (\alpha) ve (\beta) olarak adlandırılır.
- Köklerin Toplamı ve Çarpımı: Bir (x^2 + bx + c = 0) denkleminin kökleri (\alpha, \beta) ise
- Kökler toplamı: (\alpha + \beta = -b).
- Kökler çarpımı: (\alpha \beta = c).
- Karmaşık Olmayan Kökler (Gerçek Kökler): Diskriminant (\Delta = b^2 - 4ac \ge 0) olduğu takdirde kökler gerçektir.
- Köklerin Sıralanması: Burada ({x_1, x_2}) birinci denklem, ({x_3, x_4}) ikinci denklemin kök takımları olarak verilmektedir. Problemde ek olarak, (x_3) özel bir şekilde tanımlanmıştır.
- Denklem Parametresi (a): İkinci denklemin katsayıları, parametre (a) cinsinden yazılmıştır ((-ax) ve (-3a)), bu da demek oluyor ki ikinci denklemin gerçek kökleri (örnek: ({x_3, x_4})) parametre (a) tarafından belirlenmektedir.
3. Birinci Denklemin Çözümü (I)
İlk denklem:
[
x^2 - 20x + 64 = 0
]
3.1 Kökler Toplamı ve Çarpımı
- Kökler toplamı: (x_1 + x_2 = 20) (çünkü denklem (x^2 - 20x + 64 = 0) formunda olduğundan, (-b = 20)).
- Kökler çarpımı: (x_1 \cdot x_2 = 64) (çünkü (\ c = 64)).
3.2 Kökleri Eğersel Olarak Bulma
Denklem tam kareye yakın görünmekle birlikte, basit çarpanlara ayırma da mümkündür. 16 ve 4 sayıları toplanınca 20, çarpılınca 64’ü verdiğinden, denklemin kökleri:
[
x_1 = 16 \quad \text{ve} \quad x_2 = 4
]
(veya tersi: (\ x_1 = 4, x_2 = 16))
Dolayısıyla:
[
{x_1, x_2} = {16, 4}.
]
4. İkinci Denkleme Giriş (II)
İkinci denklemin genel biçimi:
[
x^2 - ax - 3a = 0.
]
Bu denklemdeki kökler ({x_3, x_4}) olarak adlandırılmaktadır. İkinci dereceden bir denklemde, Viete Formüllerine göre:
[
x_3 + x_4 = a \quad\quad (1)
]
[
x_3 \cdot x_4 = -3a \quad\quad (2)
]
Burada (a) sabit bir gerçek sayıdır ve bu sayede denklem kendi köklerini belirler. Fakat problemde bir ek koşul bulunmaktadır:
[
x_3 = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}.
]
5. x₃’ün Belirlenmesi ve a’nın Bulunması
5.1 x₃’ün Doğrudan Hesabı
Birinci denklemin kökleri (x_1=16) ve (x_2=4) olduğuna göre:
[
x_3 = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6.
]
Böylece ikinci denklemin çözümlerinden biri olan (x_3) kesin olarak 6 bulunmuştur.
5.2 a Parametresini Bulmak
Bildiğimiz üzere, ikinci denklemin kökleri ({x_3, x_4}) olup, bunların toplamı (a) eşittir. Dolayısıyla (1) numaralı denklemde yerine koyarsak:
[
x_3 + x_4 = a \implies 6 + x_4 = a.
]
Ayrıca (2) numaralı denklemde de köklerin çarpımı (-3a) eşit olmalıdır:
[
x_3 \cdot x_4 = -3a \implies 6 \cdot x_4 = -3a.
]
Bunları birlikte çözüme kavuşturmak için önce (x_4 = a - 6) ifadesini (\ x_3 \cdot x_4 = -3a ) içinde kullanırız:
[
6 \cdot (a - 6) = -3a
]
[
6a - 36 = -3a
]
[
6a + 3a = 36
]
[
9a = 36 \implies a = 4.
]
Dolayısıyla ikinci denklemin katsayısı olarak belirlenen (a) değeri 4’tür.
6. İkinci Denklemin Köklerinin Hesaplanması (x₃ ve x₄)
6.1 a’nın Yerine Koyulması
Artık (a = 4) olduğuna göre, ikinci denklem (\ x^2 - ax - 3a=0) ifadesi şu haldedir:
[
x^2 - 4x - 3 \cdot 4 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x^2 - 4x - 12 = 0.
]
6.2 Kökleri Bulma
Bu denklem (x^2 - 4x - 12 = 0) halini aldığından, köklerini bulmak için ya çarpanlara ayırma ya da ikinci dereceden denklem formülünü ((\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})) kullanabiliriz.
6.2.1 Çarpanlara Ayırma
(-12) değerini sağlayacak öyle iki sayı arıyoruz ki toplamları -4 olsun. Bu sayılar -6 ve +2 şeklinde düşünebiliriz fakat -6 + 2 = -4 ama -6 * 2 = -12. Denklemin işaretlerini tam yansıtalım:
[
x^2 - 4x -12 = (x - 6)(x + 2) = 0
]
Kökler:
[
x = 6 \quad \text{ve} \quad x = -2.
]
Dolayısıyla:
[
x_3 = 6, \quad x_4 = -2.
]
Zaten problemde (x_3 = 6) olduğunu önceden saptamıştık. Buradan, ikinci kök (x₄) otomatik olarak (-2) çıkmaktadır.
7. x₆ Değerinin Yorumu
Problemdeki ifade: “(x_3 = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}) olduğuna göre (x_6) kaçtır?” şeklindedir. Genellikle bu tür sorularda, yeni bulunan ikinci kök, bazen “x₆” gibi bir sonraki indisle adlandırılabilir. Metnin orijinalinde ({x_3, x_4}) şeklinde tanımlanan köklerden, (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}) ifadesine karşılık gelen kök (x_3) ise, diğer kök “(x_4)” çoğu zaman (, x_6) olarak da etiketlenebiliyor.
Biz burada, problem metninden ve şıklardan yola çıkarak, “(x_6)” olarak sorulan değerin aslında ikinci denklemin öteki kökü (yani (x_4)) olduğunu anlıyoruz. Zira denklem ({x_3, x_4}) köklerinden birinin 6 olduğu belli iken, sonda “(x_6) kaçtır?” diye sorulduğunda, o eksik kökün -2 olduğuna ulaşırız.
Dolayısıyla:
[
\boxed{x_6 = -2}
]
Seçeneklerden (A) -2 doğru cevaptır.
8. Adım Adım Çözüm Tablosu
Aşağıdaki tabloda, yukarıda anlattığımız tüm süreci özetleyen adım adım ilerleyiş gösterilmektedir:
| Adım | İşlem | Sonuç |
|---|---|---|
| 1. İlk Denklemi Yazma | (x^2 - 20x + 64 = 0) | - |
| 2. Kökler Toplamı ve Çarpımı | (\ x_1 + x_2 = 20,\quad x_1 x_2 = 64 ) | - |
| 3. Kökleri Bulma | Çarpanlara ayırma veya inceleme ile kökler: (x_1=16,\ x_2=4) | ({16,4}) |
| 4. x₃’ün Tanımı | (x_3 = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}) | (x_3 = 4 + 2 = 6) |
| 5. İkinci Denklem | (x^2 - ax - 3a = 0,\ \text{kökleri } {x_3, x_4}) | - |
| 6. Viete ile Toplam ve Çarpım | (x_3 + x_4 = a \quad\ \text{ve}\quad\ x_3 x_4 = -3a) | - |
| 7. Bilinen x₃’ü Yerine Koyma | (x_3 = 6) olduğundan (6 + x_4 = a \quad\text{ve}\quad 6 \cdot x_4 = -3a). | - |
| 8. a’yı Bulma | (\ 6(a-6) = -3a \implies 6a -36 = -3a \implies 9a =36 \implies a=4). | (a=4) |
| 9. İkinci Denklem (a=4) İle Kökleri Yazma | (x^2 -4x -12 =0). | - |
| 10. İkinci Denklemin Kökleri | Çarpanlara ayırma: (\ (x-6)(x+2)=0\implies x_3=6,\ x_4=-2.) | ({6, -2}) |
| 11. x₆ Değeri | Problem metnine göre sorulan “x₆” = ikinci denklemin diğer kökü = (-2). | -2 |
9. Örnek Uygulama ve Kontrol
Burada bulduğumuz sonucu hızlıca kontrol edelim:
-
Birinci Denklemin Kökleri: 16 ve 4. Her ikisi de denklemi sağlar:
- (16^2 - 20\cdot 16 + 64 = 256 -320 +64= 0.)
- (4^2 -20\cdot 4 +64=16-80 +64= 0.)
-
Köklerden Birleştirilmiş Değer:
[
x_3 = \sqrt{16}+\sqrt{4} = 4 + 2 =6.
] -
İkinci Denklem Parametresi:
[
x_3 + x_4 = a,\quad x_3 x_4=-3a.
]- (x_3=6) yerleşirse, (6 + x_4=a) ve (6x_4 =-3a).
- Çözüm sonucu (a=4), (x_4=-2).
-
İkinci Denklemin Gerçekten ({6, -2}) Çözüme Sahip Olduğu Kontrolü:
[
x^2 -4x -12=0 \implies 6^2 -4\cdot6 -12=36 -24 -12=0,
]
[
(-2)^2 -4\cdot(-2) -12=4+8-12=0.
]
Her ikisi de sağlıyor; dolayısıyla hata yoktur. -
Sonuç (x₆): Problemin sorduğu x₆ değeri = (-2).
10. Konuya Dair Ek Açıklamalar
- Kök Etiketlemesi: Sorularda bazen tüm kökler aynı denklemdeymiş gibi sırayla (x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6) diye adlandırılır. Burada, ikinci denklemin kökleri ({x_3, x_4}) diye başlasa da, “x₆” ifadesi muhtemelen “ikinci denklemdeki diğer kök” veya “sonraki kök” olarak kastedilir.
- Negatif Kök Durumu: (-2) değeri negatif görünse de, ikinci denklemin parametresi (a=4) olduğu için bu gayet olağandır.
- Kareköklerin Pozitif Değeri: (\sqrt{x}) ifadesi, reel sayılar kümesinde genelde pozitif (yani asıl kök) olarak alınır. Bu problemde (\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}) tanımı, negatif değer seçimine izin vermeyecek biçimde düzenlenmiş.
- Diskriminant Yöntemi: Çarpanlara ayırma yapmak yerine, ikinci denklemin diskirminantını da (kısaca (\Delta)) kullanarak (\ x_3) ve (\ x_4)'ü bulmak mümkündür. Ancak çarpanlara ayrılabildiğini görmek, çözümü hızlandırır.
11. Özet ve Sonuç
Bu problem, iki ayrı ikinci dereceden denklem arasındaki ilişkiyi ve bir “parametre” ((a)) üzerinden koşullandırılmış bir kök tanımını içermektedir. Adımları maddeler halinde özetlersek:
- Birinci Denklem ((x^2 - 20x +64=0))
- Kökleri ({16, 4}) bulunur.
- Üçüncü Kök Tanımı ((x_3))
- (x_3 = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 6.)
- İkinci Denklem ((x^2 - ax - 3a=0))
- Viete bağıntıları: (x_3 + x_4 = a) ve (x_3 x_4 = -3a.)
- Yerine koyma sonucu (a = 4) ve ikinci kök (x_4 = -2).
- x₆ Değeri
- Problem ifadesine göre ikinci denklemin diğer kökü (x₄) aynı zamanda “x₆” diye soruluyorsa, sonuç (-2) olacaktır.
Dolayısıyla sorunun kesin cevabı -2’dir. Şıklar arasında (A) -2 ifadesi mevcuttur ve doğru seçim budur.